pq-Formel Verwendung trotz x^3 und nicht x^2?

Question

Aufgabe:

Extrempunkte anhand von Funktion berechnen

Problem/Ansatz

f(x)= x^4 - 2x^2 + 1

f`(X) = 4x^3 - 4x

f"(x) = 12x^2 - 4

1.notwendige Bedingung

f´(x) = 4x^3 - 4x =0 /:4

x^3-1x = 0 / -> nun bin ich mir aber nicht sicher wie ich diese Rechnung fortführen soll! Ich kenne es bloß so das nun die p/q Formel angewendet wird aber mich verwirrt dieses x^3 da ich zum einen nun auch nicht genau weiß was nun mein p ist und was mein q.

wäre super nett wenn mich jemand retten könnte :))

Answer 1

Es gilt übrigens x⁴ - 2x² + 1 = (x²-1)²

(x²-1)² hat zwingend die Tiefpunkte (-1|0) und (1|0) und den Hochpunkt (0|f(0)), also (0|1).

Answer 2

x^3-x=0 klammere x aus.

x(x^2-1)=0 ->Satz vom Nullprodukt

x₁=0

x^2-1=0

x^2=1

x_2.3=± 1

Answer 3

x³-1x = 0

x·(x²-1)=0

x·(x+1)·(x-1)=0

x₁=0 x₂=1 x₃=-1.  

Answer 4

Hallo Fajna,

\(x^3-x=0 \Rightarrow x\cdot(x^2-1)=0 \Rightarrow x_1=0 ; x_2=-1 ; x_3= 1\)

\(f(0)=1 \Rightarrow E_1(0|1)\)

\(f(\pm 1)=0 \Rightarrow E_{23}(\pm 1|0)\)

Falls du noch zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden musst, setzt du die x-Werte in die zweite Ableitung ein.

Answer 5

4x^3 - 4x = 0

4x ausklammern:

4x(x^2-1) = 0

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist ⇒

4x = 0 oder x^2 - 1 = 0

Ab hier kommt du sicher selber weiter, sonst melde dich noch einmal.

Gruß, Silvia

Comments

Danke für die rasche Antwort meine Frage wäre jetzt aber auch noch bezogen auf die hinreichende Bedingung. Ich muss ja nun den x Wert in die zweite Ableitung einsetzen um herauszufinden ob es sich um einen Tiefpunkt oder einen Hochpunkt handelt. Wie soll das denn nun gehen da ich ja nun 3 x Werte habe? Welchen soll ich den nun anwenden? x1=0 ; x2=1 ; x3= -1

Danke danke für die Hilfe! ;)

---

Du musst für alle drei Stellen herausfinden, ob es Maximum- oder Minimumstellen sind.

Also: dreimal das gleiche Vorgehen...

---

eine kleine Grafik zur Orientierung:

Answer 6

4x^3 - 4*x  = 0
x * ( 4x^2 - 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
4x^2  - 4 = 0
x^2 - 1 = 0
x = +1
x = -1

Answer 7

~plot~ x^4 - 2x^2+ 1 ~plot~

Du hast bestimmt schon die doppelten Nullstellen bei x=- 1 und x=1 gefunden. (Biquadratische Gleichung)

Daher kennst du bereits zwei Extremalstellen.

Ausserdem ist f(x) eine gerade Funktion, d.h. symmetrisch zur y-Achse. Auf der y-Achse selbst liegt ihre dritte Extremalstelle. Genauer in P(0|1) ist ein Extremum, in A(-1|0) und B(1|0) auch eines.

Da ein Polynom 4. Grades betrachtet wird, liegt in P(0|1) ist ein lokales Maximum und in A(-1|0) sowie in B(1|0) ein lokales Minimum.