Brauche Hilfe bei eine Vollständigen Induktionsbeweis

Question

muss folgende Aufgabe via vollständige Induktion beweisen und bin hängengeblieben :(

Aufgabe:

$\forall n \in \mathbb{N}_0: \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k +1}+\sqrt{k}}=\sqrt{n+1}$

Ansatz:

$\text{I.A: } n=0 \\ \sum \limits_{k=0}^{0} \frac{1}{\sqrt{0+1}+\sqrt{0}} =\sqrt{0 +1} \\\Longleftrightarrow \sum \limits_{k=0}^{0} 1 =1 \checkmark \\\text{I.V: } \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k +1}+\sqrt{k}}=\sqrt{n+1} \\\text{I.B: } \sum \limits_{k=0}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k +1}+\sqrt{k}} \text{ != }\sqrt{n+2} \\ \sum \limits_{k=0}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k +1}+\sqrt{k}}= \sum \limits_{k=0}^{n} \sqrt{n+1}+ \frac{1}{\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1}} \\\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{n+1}*(\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1}}+ \frac{1}{\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1}}= \frac{\sqrt{n+1}*(\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1})+1}{\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1}} \\\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{n+1}*\sqrt{n +2}+\sqrt{(n+1)*(n+1)}+1}{\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}*\sqrt{n +2}+n+2}{\sqrt{n +2}+\sqrt{n+1}}$

Ist etwa meine Rechnung Falsch, habe ich was übersehen oder entnehme ich aus dem Beweis nun, dass die Aussage nicht für alle natürliche Zahlen gilt?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Ich würde mir die Summe etwas umschreiben:$$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(\sqrt{k+1}+\sqrt k)(\sqrt{k+1}-\sqrt k)}$$$$=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(\sqrt{k+1})^2-(\sqrt k)^2}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt k$$Damit ist der Induktionsschritt:$$\sum\limits_{k=0}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt k\right)$$$$=\left(\sqrt{(n+1)+1}-\sqrt{n+1}\right)+\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt k\right)}_{=\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+2}$$

Comments

Also du hast die Summe um die dritte Binom. Formel erweitert.

Kannst du mir aber erklären wie du auf dies gekommen bist?

$$\frac{\sqrt{k +1}-\sqrt{k}}{k +1 -k} = \sqrt{k +1}-\sqrt{k}$$

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Genau, ich habe die 3-te binomische Formel benutzt.

Der Nenner ist 1: $k+1-k=1$.

$$\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{k+1-k}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{1}=\sqrt{k+1}-\sqrt k$$

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:facepalm:

:D

Hauptsache die 3 binom formel erkannt und sowas triviales übersehen...

Vielen Dank