Differenzierbarkeit einer Funktion zeigen

Question

ich soll eine Funktion auf Differenzierbarkeit Untersuchen, kenne aber nur die Untersuchung der Differenzierbarkeit an einer gegebenen Stelle.

Nun ist aber keine Stelle gegeben, wie könnte man Beispielsweise

f(x) = \( \sqrt{x+1} \) + \( \sqrt{4-2x} \)

allgemein auf Differenzierbarkeit untersuchen?

Answer 1

Aloha :)

Du musst zuerst überlegen, in welchem Definitionsbereich die Funktion überhaupt definiert ist. Da die Wurzel von negativen Zahlen in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist, muss \(x\) zwei Bedingungen erfüllen:$$x+1\ge0\;\land\;4-2x\ge0\quad\Leftrightarrow\quad x\ge-1\;\land\;x\le2\quad\Leftrightarrow\quad x\in[-1;2]$$Nur in diesem Definitionsbereich ist die Funktion definiert. Nun musst du untersuchen, für welche \(x\in[-1;2]\) der Differentialquotient konvergiert. Dazu betrachtest du am besten zunächst den Differenzenquotient und formst ihn um:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{x+1}-\sqrt{4-2x}}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\sqrt{(x+h)+1}-\sqrt{x+1}+\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{4-2x}}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\sqrt{(x+h)+1}-\sqrt{x+1}}{h}+\frac{\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{4-2x}}{h}$$Jetzt nicht erschrecken. Wir erweitern die beiden Brüche, um danach die Wurzeln in den Zählern mittels der dritten binomischen Formel zu wieder zu vereinfachen:

$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{(\overbrace{\sqrt{(x+h)+1}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x+1}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{(x+h)+1}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x+1}}^{=b})}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}+\frac{(\overbrace{\sqrt{4-2(x+h)}}^{=c}-\overbrace{\sqrt{4-2x}}^{=d})\cdot(\overbrace{\sqrt{4-2(x+h)}}^{=c}+\overbrace{\sqrt{4-2x})}^{=d}}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{(\overbrace{(x+h)+1}^{=a^2})-(\overbrace{x+1}^{=b^2})}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}+\frac{(\overbrace{4-2(x+h)}^{=c^2})-(\overbrace{4-2x}^{=d^2})}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{x+h+1-x-1}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}+\frac{4-2x-2h-4+2x}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{h}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}+\frac{-2h}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$Jetzt kann man im Zähler und Nenner \(h\) kürzen (deswegen haben wir die ganze Term-Gymnastik veranstaltet) und das Minuszeichen im Zähler vom 2-ten Bruch noch "nach vorne" ziehen. Damit haben wir:$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}-\frac{2}{(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$Die Funktion ist nun differenzierbr, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h\to0\) existiert. Nach unserem Umbau können wir \(h=0\) sogar einsetzen:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}-\frac{2}{(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{2}{2\sqrt{4-2x}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{4-2x}}$$JDen Grenzwert \(h\to0\) konnten wir ohne Probleme bilden, aber jetzt tauchen die beiden Wurzeln im Nenner auf. Oben hatten wir den Definitionsbereich \([-1;2]\) ermittelt. Die Ableitung ist jedoch an den Rändern dieses Bereichs nicht definiert, weil die Wurzeln da zu Null werden.

Daher ist die Funktion differenzierbar für \(x\in]-1;2[\).

Comments

Vielen Dank, das ist sehr verständlich!

Answer 2

Erst mal den Definitionsbereich bestimmen:

Beide Radikanden nicht negativ gibt D = [-1;2].

Für Differenzierbarkeit bei x braucht man eine ganze Umgebung von x

die in D leigt. Sei also x ∈ ]-1;2[.

Und betrachte nun (f(x+h) - f(x)) / h  für h gegen 0

$$\frac{\sqrt{x+h+1}-\sqrt{x+1}}{h}  + \frac{\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{4-2x}}{h}$$

Erweitere den ersten Bruch mit

$$\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}$$ und den zweiten mit

$$ \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x}$$

und wende jeweils im Zähler die 3. binomi. Formel an.

Das gibt

$$\frac{(x+h+1)-(x+1)}{h*(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})}  + \frac{(4-2(x+h))-(4-2x)}{h*( \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$

$$=\frac{h}{h*(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})}  + \frac{-2h}{h*( \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$

h kürzen

$$=\frac{1}{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})}  + \frac{-2}{ \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$

und den Grenzwert für h gegen 0 bilden, das gibt:

$$=\frac{1}{2\sqrt{x+1})}  + \frac{-2}{2\sqrt{4-2x})}$$

Dann noch die 2 im 2. Bruch kürzen.

Comments

Du hast in den letzten paar Nennern ein paar überflüssige schliessende Klammern.

Answer 3

Lass dir den Graphen der Funktion plotten

~plot~ sqrt(x+1) +sqrt(4-2x) ~plot~

und überlege dann

1. warum, wo der Graph aufhört.

2. wo die Steigung des Graphen allenfalls keine wohldefinierte endliche Grösse sein könnte.