Äquivalenzklassen bestimmen

Question

Aufgabe: Es seien M eine Menge, U ⊆ M und x ∼ y : <=> ( x ∈ U ∧ y ∈ U ) ∨ x = y .

∼ ist dabei eine Äquivalenzrelation auf M.

Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von ∼.

Wie genau ist U⊆M hier zu verstehen? Es könnte ja U = M sein, wodurch es nur eine Äquivalenzklasse gäbe, aber U könnte doch auch jede andere Teilmenge von M sein.

Oder sagt U⊆M hier aus, dass alle Teilmengen von M gemeint sind, also die Potenzmenge. Dann gäbe es ja auch nur eine Äquivalenzklasse. 

Bin mir hier leider nicht so ganz sicher.

Answer 1

Es könnte ja U = M sein, wodurch es nur eine Äquivalenzklasse gäbe, aber U könnte doch auch jede andere Teilmenge von M sein.   Beides richtig !

Eine Äquivalenzklasse ist schon mal die Teilmenge U; denn für alle x,y aus U gilt ja x~y.

Hat man nun ein Element  x , das nicht in U ist , kann   ( x ∈ U ∧ y ∈ U ) natürlich

nie gelten, also bildet die ein-elementige Menge {x} eine Klasse; denn x=x gilt ja sicher.

Comments

also könnte man allgemein über die Äquivalenzklassen sagen, dass es nur eine gibt, falls U=M und falls U⊆M und es ein x∈M ∧ x∉U gibt, dann bildet die einelementige Menge {x} zusätzlich zu der Äquivalenzklasse, die durch U dargestellt wird, eine weitere Äquivalenzklasse.

Außerdem falls U = ∅, fällt U als Äquivalenzklasse weg.

Kurze Rückmeldung wäre perfekt :)