Finden Sie auf den Mengen alle Verknüpfungen, die eine Gruppe mit neutralem Element e bilden.

Question

Finden Sie auf den Mengen
{e, a}, {e, a, b}, {e, a, b, c}
alle Verknüpfungen, die eine Gruppe mit neutralem Element e bilden.

Answer 1

So viele Möglichkeiten gibt es hier nicht.

Trage jeweils in eine Verknüpfungstafel die Verknüpfungen mit e ein, dann ist schon vieles voll. Dann überlege, dass jedes Element invertierbar sein muss.

Comments

Und wie funktioniert es ohne Verknüpfungstafel?

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Da Du keine Regel für die Verknüpfung vorgegeben hast, kannst Du nur alle möglichen Verknüpfungen einzeln auflisten, aber das würde ich nicht machen.

Zwei Elemente

a*a = ?

a*e = a

e*a = a

e*e = e

Das muss sich wegen des Neutralen ergeben.

Drei Elemente

a*a =

a*b =

a*e =

b*a =

b*b =

b*e =

e*a =

e*b =

e*e =

Usw.

Das ist unübersichtlicher und aufwendiger. Es hat einen Sinn, weshalb Verknüpfungstafeln existieren.

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Ich muss noch beweisen, dass die Gruppe das Assoziativgesetzt erfüllt. Wie mache ich das bei so vielen Möglichkeiten?