Gewinnmaximierung - Kosten, Erlös und Gewinn

Question

wir haben mit einem neuen Thema angefangen und wir sollen selbstständig begreifen, wie man die Aufgabe löst, ich sitze jedoch schon seit gestern an dieser Aufgabe und ich verstehe es überhaupt nicht. Es würde mich echt freuen, wenn es mir jemand erklären könnte. MfG Ime

Die Gesamtkosten für die Herstellung von x tausend Einheiten einer Ware lassen sich für 0<=x<=9 berechnen mit K(x)=2x^3-16x^2+48x+100. Der Erlös E für den Verkauf von x tausend Einheiten dieser Ware beträgt E(x)=144x-16x^3.

a) Untersuche, bei welcher Produktionsmenge die durchschnittlichen Herstellungskosten \( \frac{K(x)}{x} \) am geringsten sind.

b) Bestimme die Produktionsmenge die den größten G mit G(x) = E(x)-K(x) garantiert.

Answer 1

a) K/x = (2x³-16x²+48x+100) /x = 2 x² - 16 x + 100/x + 48

ableiten, Nullstelle finden, x = 5

b) E-K = -18x³ + 16x² + 96x - 100

ableiten, Nullstelle finden, x = 1,6622

Comments

Warum muss man ableiten und die Nullstelle finden?

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Weil Du ja die Extermstellen finden willst (Minimum der Stückkosten und Maximum des Gewinns).

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Achso, danke, jetzt versteh ich es ^^

Answer 2

a)
k(x) = K(x)/x = 2·x^2 - 16·x + 48 + 100/x
k'(x) = 4·x - 16 - 100/x^2 = 0 → x = 5 ME

b)
G(x) = E(x) - K(x) = (144·x - 16·x^3) - (2·x^3 - 16·x^2 + 48·x + 100) = -18·x^3 + 16·x^2 + 96·x - 100
G'(x) = - 54·x^2 + 32·x + 96 = 0 → x = 8/27 + 4/27·√85 = 1.662 ME

Comments

Kannst du mir vielleicht noch erklären, warum man ableiten und dann die Nullstelle finden muss?

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Die Notwendige Bedingung für einen lokales Extremum ist, dass die erste Ableitung Null wird.

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Das hat meine Frage nicht beantwortet, aber es hat sich schon geklärt. Danke, dass du mir geholfen hast ^^