Halli
und zwar bin ich grade dabei ein paar Übungsaufgaben aus dem Internet zu machen und bin auf diese hier gestoßen:
Aufgabe
Gegeben sei die R-wertige Folge (an)n∈N, definiert durch:
a1 := 2, ∀n ∈ N : an+1 := 2 − 1/an (∗).
a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt: 1 ≤ an ≤ 2.
Lösung
a) Für alle n ∈ N sei A(n) die Aussage 1 ≤ an ≤ 2. Wir zeigen durch vollständige
Induktion nach n ∈ N, dass A(n) wahr ist.
Induktionsanfang: Für n = 1, ist A(1) äquivalent zu 1 ≤ a1 ≤ 2. Da a1 = 2 sind beide
Ungleichungen erfüllt.
Induktionsschritt: A(n) =⇒ A(n + 1)
Induktionsannahme: A(n) ist wahr, d. h. 1 ≤ an ≤ 2.
Behauptung: A(n + 1) ist wahr, d. h. 1 ≤ an+1 ≤ 2.
Beweis: Folgende Implikationen gelten:
1 ≤ an ≤ 2 =⇒1/2 ≤ 1/an ≤ 1 =⇒ −1 ≤ −1/an ≤ −1/2(∗)=⇒ 1 ≤ an+1 ≤ 3/2=⇒ A(n + 1).
Problem/Ansatz:
Ich versteh den Beweis nicht wie kommt man plötzlich auf die 1/2 ≤ 1/an ≤ 1 etc. ?
