Einheitsvektoren u+v+w= 0

Question

Hätte mal eine Frage wie ich folgende aufgabe zu lösen habe.

Die Einheitsvektoren u, v und w erfüllen die Bedingung
u + v + w = 0.
Bestimmen Sie <u, v> + <v, w> + <w, u>

Für paar tipps sowie ansätze wäre ich dankbar.

Comments

Morgen ist Abgabe der HA in Lineare Algebra in der Uni Kassel.. Zufall? Ich glaube nicht

Answer 1

du kannst es auch stumpf ausrechnen, quadriere die Gleichung:

$$(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2(uv+uw+vw)=0$$

Da es Einheitsvektoren sind folgt u^2=v^2=w^2=1.

$$3+2(uv+uw+vw)=0$$

und damit

$$(uv+uw+vw)=-1.5$$

Comments

Top vielen dank für die Hilfe hat mir sehr geholfen.

Answer 2

Aloha :)

Es handelt sich um einen geschlossenen Vektorzug aus 3 Vektoren, also um ein Dreieck. Die Vektoren sind Einheitsvektoren mit Länge 1, also haben wir ein gleichseitiges Dreieck. Die 3 Skalarprodukte sind jeweils gleich dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels, also gleich dem Cosinus von \(120^o\), also gleich \(-0,5\). [Die Vektoren gehen nicht vom gleichen Startpunkt aus, sondern der eine wird an den anderen gehangen, daher 120 statt 60 Grad.] Daher ist:$$\left<u,v\right>+\left<v,w\right>+\left<w,u\right>=-1,5$$

Die pathologischen Fälle (zwei gleiche Vektoren, zwei entgegengesetzt gleiche Vektoren, ...) können nicht auftreten, weil in diesen Fällen die Vektorsumme nicht der Nullvektor ist.

Comments

Der Winkel zwischen je zwei Vektoren ist 120°, daher der Vorzeichenfehler.

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Ja klar, weil die Vektoren nicht vom gleichen Startpunkt ausgehen...

Ich Schussel!!!

Danke für den Hinweis ;)

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So ein "patholoischer Fall" (ohne g) kommt halt mal vor. ;-)

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So, habe es korrigiert, damit nachfolgende Generationen sich nicht wundern und ich am Ende noch doof dastehe ;)))

Answer 3

0=⟨0,0⟩=⟨u+v+w,u+v+w⟩
 =||u||²+||v||²+||w||²+2·(⟨u,v⟩+⟨u,w⟩+⟨v,w⟩)
⇒⟨u,v⟩+⟨u,w⟩+⟨v,w⟩=-3/2.