Kombinatorik beim Kinobesuch

Question

Eine Sitzreihe im Kino besteht aus 2x plätzen.

Nun soll bestimmt werden wie viele Möglichkeiten es gibt, y Personen in einer solchen Reihe zu platzieren, sodass keine zwei Personen nebeneinander sitzen dürfen.

Also immer mindestens ein Platz dazwischen frei bleiben muss.

Meine bisherigen Gedanken:

- Es können maximal \( \frac{2x}{2} \) Personen in der Reihe sitzen, also x. Es gibt ja auch Fälle in denen x > y gilt.

Aber wie stelle ich sicher, dass auch immer mindestens ein Platz frei bleibt?

Wie kann ich das nun bestimmen?

Comments

Es gibt  (2x - y + 1)! / (2x - 2y + 1)!  Möglichkeiten.

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Wenn gar nix einfällt:
n=2 :
4 plätze, 1 person 4 möglichkeiten
2 personen 3 möglichkeiten
n=3: 
6 plätze
1 person: 6 möglichkeiten
2 personen: 5 möglichkeiten
3 Personen: 4 möglichkeiten
Scheint also ein einfacher Zusammenhang zu sein.
Das ist noch mit ununterscheidbaren Kinogästen. Da Kinogäste in der Regel nicht vermummt das Kino betreten, müsstest du jeweils noch mit y! multiplizieren.
Zur Kontrolle noch n=4 prüfen

Ich käme jetzt auf (2x-y+1)*y!

für 0<y<=x

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Vom Duplikat:

Titel: Kombinatorik - Wie viele Arten gibt es Personen zu platzieren?

Stichworte: kombinatorik,möglichkeiten

Aufgabe:

Eine U-Bahn Sitzplatzreihe umfasst 2k Plätze.

Auf wie viele Arten lassen sich q Personen in dieser Reihe platzieren, sodass keine zwei Personen nebeneinander sitzen?

Problem/Ansatz:

n! / n-k! das wäre mein Ansatz, allerdings bin ich mir hierbei nicht sicher ob dieser so richtig ist.

Die Aufgabenstellung mit 2k Plätzen ist etwas verwirrend wie ich finde.

Answer 1

Eine Überprüfung am Beispiel x = 3 und y = 2 ergibt das die Formel von Gast jc2144 falsch ist.

Bei 6 Platzen und 2 Leuten gibt das leider 20 Möglichkeiten
X _ X _ _ _
X _ _ X _ _
X _ _ _ X _
X _ _ _ _ X
_ X _ X _ _
_ X _ _ X _
_ X _ _ _ X
_ _ X _ X _
_ _ X _ _ X
_ _ _ X _ X

Da man die Leute noch tauschen kann, das ganze nochmal mal 2.
Die Formel von hj2166 liefert da das richtige Ergebnis.

Ich schreibe die Formel erstmal so auf wie sie mir einfällt

((y - 1) + 1 + (2·x - 2·(y - 1) - 1))! / (2·x - 2·(y - 1) - 1)!

Ich habe y - 1 Personen neben denen der rechte Stuhl frei ist. Ich betrachte diese Personen und den Stuhl zusammen als 1 Objekt.

Ich habe 1ne Person die keinen festen leeren Stuhl an der rechten Seite hat. Diese Person sitzt ganz rechts von allen Personen.

Ich habe noch 2·x - 2·(y - 1) - 1 leere Stühle dazwischen die ich irgendwie positionieren kann.

Ich bilde also die Permutation all dieser Dinge und teile durch die Permutationen der leeren Stühle, die dazwischen stehen und die ich nicht unterscheiden kann.

((y - 1) + 1 + (2·x - 2·(y - 1) - 1))! / (2·x - 2·(y - 1) - 1)!

Diese Formel kann man jetzt vereinfachen zu

(2·x - y + 1)! / (2·x - 2·y + 1)!

Damit hätte ich die gleiche Formel wie hj2166.

Comments

Mir hilft es immer ungemein, wenn ich mir das wie oben bildlich notiere, wie so eine Sitzordnung aussehen könnte. Dann überlege ich wie ich das geschickt modellieren kann. also das bei den y-1 linken Personen einfach immer ein leerer Stuhl daneben ist und bei einer weiteren Person die rechts sitzt eben nicht.

So kann ich eine Sitzordnung dann als

(X_) (X_) (_) (X)

schreiben. Ich habe das hier mal mit Klammer gruppiert. Also die linken Personen neben denen rechts der Stuhl frei ist. Die rechte Person ohne den freien Stuhl an der rechten Seite. Und einen Beliebig freien Stuhl, den ich dann noch irgendwo plazieren kann.

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Wenn man jetzt die Fragestellung wie folgt ändern würde:

Wie viele Möglichkeiten gibt es 2x Personen in der Reihe zu platzieren, wenn es sich bei den Besuchern um Paare handelt, die zusammen sitzen möchten?

Eine Erklärung wäre sehr nett.

lg

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Die Frage habe ich unter folgendem Link beantwortet

https://www.mathelounge.de/672976

Answer 2

Mir hilft es immer ungemein

Mir hat es geholfen, die Aufgabe in ein "Wege-im-Quadratgitter" - Problem zu übersetzen. Man betrachte die Kino-Reihe und notiere sich die Reihenfolge freier und besetzter Plätze. Bei x=4 und y=3 ergibt sich z.B. die Folge fbffbfbf, die dann im Koordinatensystem von (0|0) ausgehend folgenden Graphen ergibt :

Weil keine zwei nebeneinander liegenden Plätze besetzt sein dürfen, ist z.B. Folgendes verboten :

Es geht also nur noch darum, die drei (allgemein :  y) vertikalen Striche auf die sechs (allgemein :  2x+1-y) Positionen von 0 bis 5 zu verteilen. Das ist auf (2x+1-y über y) mögliche Arten möglich. Multiplikation der möglichen Anzahl dre Konfiguration besetzter Plätze mit der Anzahl möglicher Anordnungen der Besucher ergibt das angegebene Ergebnis.

Comments

Sehr schöne Lösung. Ich hoffe du bist nicht allzu böse wenn ich deinen Vorschlag zu einer eigenständigen Antwort mache.

Ich lerne immer gerne von dir.

Answer 3

Ob das nun in der U-Bahn oder im Kino ist dürfte ziemlich egal sein.

https://www.mathelounge.de/671849/kombinatorik-beim-kinobesuch