Basisaustauschsatz von Steinitz. Gegeben seien die Vektoren

Question

Gegeben seien die Vektoren:

v₁ := (1,1,3)

v₂:=(1,0,-1)

v₃:=(-1,1,2)

w₁:=(0,2,2)

w₂:=(3,2,-1)

aus R³

a) Zeigen Sie, dass v₁, v₂, v₃ eine Basis des R³ bilden.

b) Prufen Sie die Voraussetzung des Basisaustauschsatzes von Steinitz und tauschen ¨
Sie zwei der drei Vektoren v₁, v₂, v₃ gegen w₁ und w₂ aus, so dass Sie wieder eine
Basis des R³ erhalten.

Comments

Heute haben schon zwei Leute in einer Frage Steinitz erwähnt. Schau mal, ob dir die alte Frage hier weiterhilft. Suche benutzen oder "neue Fragen" durchschauen.

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 eine Basis des R3 bilden.

Da genügt es zu zeigen, dass v1, v2, v3 voneinander linear unabhängig sind.

Wende einfach die Definition für lineare Unabhängigkeit an.

Answer 2

Hallo Sabina,

Der R^3 braucht 3 linear unabhängige Vektoren, somit hat mein Vorgänger recht, es reicht zz., dass v1 bis v3 Lin unabhängig sind.

Am einfachsten geht das, indem du die Determinante von einer Matrix bildest, welche die 3 Vektoren als Zeilen oder spalten beinhaltet. Falls diese ungleich 0 ist, sind diese Vektoren linear unabhängig.

a) det ( 1 1 -1

            1 0 1       = 3 + 1 + 1 -2 = 3 != 0 Ergo Lin unabhängig und die Vektoren bilden Basis

             3 -1 2)

b) det ( 1 0 3

            1 2 2.  = -18 != 0 ergo auch Lin unabhängig und v1 w1 und w2 bilden auch eine Basis des R^3

            3 2 -1

Schau dir für die Berechnung am besten die Regel von Saures für determinantenberechnung an.

weiterhin viel spaß mit der Aufgabe 5.

Liebe Grüsse aus BT ;D