Wie rechne bestimme ich die Grenzwerte?

Question

Aufgabe:

1.) Habe ich die erste richtig gerechnet bzw. bestimmt ?

2.) Ich bräuchte Hilfe bei der 2.Nummer, wie berechnet man hier den Grenzwert?

Problem/Ansatz:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x^{3}+2 x-1}-\sqrt{x^{3}+1}) \cdot \frac{(\sqrt{x^{3}+2 x-1})+(\sqrt{x^{3}+1})}{\sqrt{x^{3}+2 x-1}+\sqrt{x^{3}+1}}= \) \( =\frac{(\sqrt{x^{3}+2 x-1}-\sqrt{x^{3}+1}) \cdot(\sqrt{x^{3}+2 x-1}+\sqrt{x^{3}+1})}{\sqrt{x^{3}+2 x-1}+\sqrt{x^{3}+1}}= \) \( =\frac{x^{3}+2 x-1-x^{3}-1}{\sqrt{x^{3}+2 x-1}+\sqrt{x^{3}+1}}=\frac{2 x-2}{\sqrt{x^{3}+2 x-1}+\sqrt{x^{3}+1}} \) 

\( 2x-2 \rightarrow ∞ \)

\( \sqrt{x^3+1} \rightarrow ∞ \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-1+4 \sinh (x)}{2 x^{2}-7 x+1-8 \cos (x)}= \)

Answer 1

Hallo Sissi,

zu 1)

Das Ergebnis stimmt nicht, ∞/∞ ist ein unbestimmter Ausdruck und ist nicht

∞

Bis dahin stimmt der Weg, Du mußt weiter vereinfachen:

\(\lim_{x \to \infty } \frac{2x-2}{\sqrt{x^3 +2x-1} +\sqrt{x^3+1} } \)

=\(2 \lim_{x \to \infty } \frac{x-1}{\sqrt{x^3 +2x-1} +\sqrt{x^3+1} } \)

\( =2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}\left(x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}+\sqrt{x^{2}\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}} \)

dann √x^2 ausklammern

\( =2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x(\sqrt{x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{x+\frac{1}{x^{2}}})} \)

dann x  kürzen und ∞ einsetzen ergibt als Lösung 0

Answer 2

Aloha :)

Beim ersten Teil ist deine Rechnung bis vor dem Grenzwert richtig. Du brauchst eigentlich nur noch mit \(x\) bzw. \(\sqrt{x^2}\) zu kürzen, dann erkennst du den Grenzwert:

$$\frac{2x-2}{\sqrt{x^3+2x-1}+\sqrt{x^3+1}}=\frac{x\left(2-\frac{2}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}}$$$$=\frac{x\left(2-\frac{2}{x}\right)}{x\sqrt{x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+x\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}}=\frac{2-\frac{2}{x}}{\sqrt{x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}}\to\frac{2}{\infty}\to0$$

Beim zweiten Term kannst du mit \(e^x\) kürzen:

$$\frac{3x^2-1+4\sinh x}{2x^2-7x+1-8\cos x}=\frac{3x^2-1+4\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{2x^2-7x+1-8\cos x}=\frac{3\frac{x^2}{e^x}-\frac{1}{e^x}+2-2e^{-2x}}{2\frac{x^2}{e^x}-7\frac{x}{e^x}+\frac{1}{e^x}-8\frac{\cos x}{e^x}}$$$$\to\frac{0-0+2-0}{0-0+0-0}\to\infty$$

Comments

Wie genau bist du am Schluss von Nr.2 noch sicher dass es + und nicht etwa - unendlich gibt?

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Öhm, gar nicht, um ehrlich zu sein, habe ich gar nicht daran gedacht. Allein der Cosinus sollte schon für alternierendes Verhalten sorgen. Nunja, jedenfalls konvergiert das Ding nicht.