Zeigen Sie, dass (G, ∗) abelsch ist.

Question

Aufgabe:

Sei (G, ∗) eine Gruppe. Es gelte g ∗ g = e für alle g ∈ G. Zeigen Sie, dass
(G, ∗) abelsch ist.

Problem/Ansatz:

Muss ich eine Komplettuntersuchung durchführen und schauen das alle 5 Punkte zutreffen?

Abgeschlossenheit

Assoziativität

neutrales Element

inverses Element

Kommutativität

weiß vielleicht jemand die Lösung?

Liebe Grüße

Hakim

Answer 1

nur das letzte ist zu prüfen.

Wegen g ∗ g = e für alle g ∈ G. ist jedes Gruppenelement zu sich selbst invers,

andererseits ist ja immer (aob)^(-1) = b^(-1) * a^(-1) also

gilt auch (aob) = (aob)^(-1)  = b^(-1) * a^(-1) = Boa .  q.e.d.