Schnitt von zwei Hyperebenen in R^4

Question

mir fehlt bei der Aufgabe hier der Ansatz.

Geben Sie zwei Hyperebenen H₁,H₂ ∈ R⁴ an, sodass

H₁  ∩  H₂ =  <\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4\\3\\2\\1 \end{pmatrix} \) >

Ich habe an ein LGS gedacht, weiß aber nicht, wie das aussehen soll, da hier ja eine Ebene aufgespannt wird.

Answer 1

H1: \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \) =k \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix} \) + h \( \begin{pmatrix} 4\\3\\2\\1 \end{pmatrix} \) + m \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Die 3 Richtungsvektoren sind l.u., also ist H1 ein 3-dim-Raum im ℝ⁴, genannt "Hyperebene".

H2: \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \) =n \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix} \) + p \( \begin{pmatrix} 4\\3\\2\\1 \end{pmatrix} \) + q \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Die 3 Richtungsvektoren sind l.u., also ist H2 ein 3-dim-Raum im ℝ⁴.

Die dritten Richtungsvektoren sind auch l.u., H1∩H2 das Erzeugnis der beiden ersten Richtungsvektoren.

(Aufpunkt = Nullpunkt)

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Answer 2

Ergänze die zwei Vektoren zu einer Basis von R⁴.

Das Erzeugnis von drei Vektoren dieser Basis ist eine Hyperebene.

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Vielen Dank, das war sehr hilfreich!