Schnitt von k Hyperebenen ergeben Unterraum

Question

bei der folgenden Aufgabe habe ich Probleme.

Zu zeigen: Für ein Unterraum U < V gibt es $$k = dim(V) - dim(U)$$ Hyperebenen $$H_{1},...,H_{k}<V$$, sodass $$U=H_{1} \cap H_{2} \cap ... \cap H_{k}$$ gilt.

Meine Idee: Wenn V die Dimension n und U die Dimension m (m ≤ n) hat, dann hat man ja noch m - n = dim(V) - dim(U) Standardbasisvektoren von V, die man einzeln zum Erzeugendensystem von U so hinzufügen kann, dass der neue Unterraum eine Hyperebene ist (also die Dimension n-1 hat), wodurch das Erzeugendensystem des Schnitts all dieser Hyperebenen nur das Erzeugendensystem von U ist.

Ist dieser Ansatz richtig? Wenn ja: Wie könnte man das denn sauber formalisieren? Mir fällt das hier schwer, kann da jemand helfen?

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Edit: "[...] dann hat man ja noch n - m = dim(V) - dim(U) Standardbasisvektoren [...]"

Answer 1

zum Erzeugendensystem von U so hinzufügen

Das ist die wesentliche Idee.

Sei B_U eine Basis von U.

Sei B_V eine Basis von V mit B_U ⊆ B_V.

Wie muss man jetzt dim(V)-1 Vektoren aus B_V auswählen, um eine der gesuchten Hüperebenen zu bekommen? Wieviele Möglichkeiten gibt es dazu?

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Kombinatorisch gesehen?

Also wenn dim(V)=n, dim(U)=m, dann gibt es nach Basisergänzungssatz n-m Standardbasisvektoren von V, die man zu U ergänzen kann, damit U = V gilt. Eine Hyperebene hat aber Dimension n-1, deswegen will man von diesen n-m nur n-m-1 zu U ergänzen.

Dafür gibt es \( \begin{pmatrix} n-m\\n-m-1 \end{pmatrix} \), also n-m = dim(V)-dim(U) Möglichkeiten, stimmt's?

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Eine Hyperebene hat aber Dimension n-1, deswegen will man von diesen n-m nur n-m-1 zu U ergänzen. Dafür gibt es \(\begin{pmatrix} n-m\\n-m-1 \end{pmatrix}\), also n-m = dim(V)-dim(U) Möglichkeiten, stimmt's?

Das stimmt so.

An einigen Formulierungen solltest du aber noch arbeiten:

Standardbasisvektoren von V

Die Aufgabenstellung ist so allgemein gehalten, dass es sinnlos ist, von einer Standardbasis zu reden. Das verlangt der Basisergänzungssatz aber auch gar nicht.

die man zu U ergänzen kann

U wird nicht ergänzt. Die Basis B_U wird ergänzt zu einer Basis B_H einer Hyperebene.

damit U = V gilt.

Nachdem definiert wurde, was U ist ("Für ein Unterraum U < V") darfst du U nicht mehr verändern. Du darfst U mit anderen Mengen vereinigen. Das Ergbnis darfst du dann aber nicht mehr U nennen.