Geometrische Summenformel Ungleichung beweisen

Question

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:

Sei K ein angeordneter Körper und λ ∈ K \{1}. Zeigen Sie:

(a) Für alle n ∈ℕ gilt: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \)λ^k  =  \( \frac{1 - λ^{n+1}}{1 - λ} \)

(b) Ist ε ∈ K mit ε > 0 und ist |1−λ| > ε, so gilt für alle n ∈N: |\( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \)λ^k - \( \frac{1}{1 - λ} \)| < \( \frac{|λ|^{n+1}}{ε} \)

Teil a) habe ich schon, allerdings tue ich mir bei b) etwas schwer. Welches Beweisverfahren kann ich denn verwenden? Ich habe zuerst überlegt, ob man das mit dem binomischen Lehrsatz zeigen kann, allerdings fehlt dafür ja links vom < Zeichen die Klammer und ein Exponent.

Über Antworten wäre ich sehr dankbar. LG

Answer 1

(b) Nach (a) gilt$$|\sum_{k=0}^n\lambda^k-\frac{1}{1-\lambda}|=|\frac{1-\lambda^{n+1}}{1-\lambda}-\frac{1}{1-\lambda}|=|\frac{\lambda^{n+1}}{1-\lambda}|=$$ $$=\frac{|\lambda|^{n+1}}{|1-\lambda|}\lt \frac{|\lambda|^{n+1}}{\epsilon}$$

Letzteres, da in einem angeordneten Körper gilt:$$b>c>0,\;a>0\; \Rightarrow \; \frac{a}{b}\lt\frac{a}{c}$$.