Allgemeine Lösung einer Inhomogenen Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Die Differentialgleichung lautet: 3y'+y=e^-t

Davon ist die allgemeine Lösung zu ermitteln.

Problem/Ansatz:

Den homogenen Teil hab ich gelöst, mein Ergebnis lautet: yh = C*e^-(1/3)t

Beim partikularen Teil hab ich den Ansatz A*e^bx gewählt und bekomme so das Ergebnis yp=1/2 heraus.

Laut Lösung kommt für yp aber ^-1/2*e^-t heraus. Was mache ich falsch?

Danke im Vorraus

Answer 1

yp= A e^(-t)

yp'= - A e^(-t)

eingesetzt in die DGL:

-3  A e^(-t) +A e^(-t) = e^(-t)

-2  A e^(-t)  = e^(-t) |:e^(-t)  ±0

-2A= 1

A= -1/2

yp= (-1/2)  e^(-t)

y=yh+yp

\( y(t)=c_{1} e^{-t / 3}-\frac{e^{-t}}{2} \)