Allgemeine Lösung der Differentialgleichung (Polynomfunktion als Störfunktion)

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet y'+3y=6x^2-4x+5

Problem/Ansatz:

Als Homogene Lösung bekomme ich C*e^-3x raus.

Wie muss ich hier aber mit der Störfunktion umgehen?

Danke im Vorraus

Answer 1

Hallo,

du machst einen Ansatz in Form einer Polynomfunktion:

y_p=Ax^2 +Bx+C, und setzt diesen in die DGL ein, um die Koeffizienten A,B,C zu bestimmen.

Kontrolllösung:

y_p= 2x^2 -8/3 x +23/9

Answer 2

Hallo,

yp= Ax^2 +Bx+C

yp'= 2Ax +B

yp'' =2A

y  yp'  yp'' in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich durchführen

y'+3y=6x^2-4x+5

2Ax +B + 3(Ax^2 +Bx+C)= 6x^2-4x+5

2Ax +B + 3Ax^2 +3Bx+3C= 6x^2-4x+5

x^2:   3A= 6 ->A=2

x^1:   2A +3B= -4

x^0:   B +3C=   5

B= -8/3

C= 23/9

yp=2 x^2 -(8/3)x +23/9

Lösung:

\( y(x)=C_{1} e^{-3 x}+2 x^{2}-\frac{8 x}{3}+\frac{23}{9} \)