Kurve berechnen mit Steigung und Nullstelle

Question

ich habe folgende Frage.

Und zwar bin ich auf eine Aufgabe gestoßen,bei der ich nicht weiterkomme.

Diese lautet:

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=x^2-2ax+1

a) Führen sie die Kurvendiskussion durch.

b)Skizzieren sie die Graphen für a=1 und a=1,5.

c) Welche Kurve der Schar hat an der Stelle x=4 die Steigung 1?

d) Welche Kurve der Schar hat eine Nullstelle und welche keine?

Zu a) habe ich alles gemacht. Bei b) weiß ich nicht wie ich fortfahren soll, eine Wertetabelle vielleicht?

Bei c) und d) habe ich keine Ahnung wie ich ran gehen soll und wie ich es durchführen könnte.

Ich wäre euch sehr dankbar, falls mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Bei b) weiß ich nicht wie ich fortfahren soll, eine Wertetabelle vielleicht?

Genau. Wertetabelle. y-Achsenabschnitt, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sind ja aus der allgemeinen Kurvendiskussion bekannt.

Bei c) und d) habe ich keine Ahnung wie ich ran gehen soll und wie ich es durchführen könnte.

c) Welche Kurve der Schar hat an der Stelle x=4 die Steigung 1?

f'(4) = 1 nach a auflösen

d) Welche Kurve der Schar hat eine Nullstelle und welche keine?

Für welches a liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse und für welches a oberhalb der x-Achse?

Comments

Bei c) würde ich dann auf a=2 kommen. Ist das so richtig?

Aber bei d) weiß ich es immer noch nicht.:(

Könnten Sie mir da weiterhelfen?

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a) Führen sie die Kurvendiskussion durch.

Nach oben geöffnete Parabel

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = 1

Nullstellen f(x) = 0
x^2 - 2·a·x + 1 = 0
x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q) = a ± √(a^2 - 1)

Extrempunkt f'(x) = 0
fa'(x) = 2·x - 2·a = 0 → x = a (Ergab sich oben auch schon aus der Formel der Nullstellen.)

f(a) = a^2 - 2·a·a + 1 = 1 - a^2 → TP(a | 1 - a^2)


b) Skizzieren sie die Graphen für a = 1 und a = 1.5.

siehe oben


c) Welche Kurve der Schar hat an der Stelle x = 4 die Steigung 1?

fa'(4) = 2·4 - 2·a = 1 → a = 3.5


d) Welche Kurve der Schar hat eine Nullstelle und welche keine?

TP(a | 1 - a^2)
1 - a^2 = 0 → a = -1 ∨ a = 1
1 - a^2 > 0 → -1 < a < 1

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Vielen Dank, aber wie kommt man auf a=3,5?

Habe als letzten Schritt 3a=6, teile dann durch 3 und komme auf 2...

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Nutze ruhig die App Photomath um deine Lösung zu kontrollieren.

2·4 - 2·a = 1
8 - 2·a = 1
- 2·a = -7
a = 7/2 = 3.5

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Und dann komme ich bei dem Extrempunkt nicht auf 1-a^2. Ich weiß nicht, wie ich die a zusammenziehen soll. Bspw.: a^2-2a*a+1= würde da auf a^4 kommen, was ja nicht stimmt. Mir ist aber schleierhaft wie ich auf a^2 komme...

Ich bedanke mich schon mal für den Zeitaufwand!

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Nutze ruhig Photomath zur Kontrolle

a^2 - 2·a·a + 1
= 1·a^2 - 2·a^2 + 1
= (1 - 2)·a^2 + 1
= (-1)·a^2 + 1
= -a^2 + 1
= 1 - a^2

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Okay, werde ich demnächst machen. Habe es bei der Aufgabe erstmal verstanden. Vielen Dank!!!

Answer 2

Ein Bild sagt mehr als viele Worte:

https://www.desmos.com/calculator/zltqtts8h7

Keine Nullstelle liegt für -1<a<+1 vor.

Genau eine Nullstelle für a=-1 und a=+1.

In allen anderen Fällen gibt es zwei Nullstellen.

So geht's:

Berechne die Nullstellen mit der Lösungsformel. Der Ausdruck unter der Wurzel muss größer, gleich oder kleiner als Null sein.

Answer 3

$$ f_a(x) = x^2-2ax+1 \\ \phantom{f_a(x)} = (x-a)^2+\left(1-a^2\right) $$ Nach dieser Umformung wird es wesentlich leichter.

Comments

Das sind alles Angaben die man schon bei der Kurvendiskussion heraus hatte.

Eigentlich braucht man dann diese Umformung nicht mehr vornehmen.

Es kann aber auch sein. Das der Fragesteller den Sinn und zweck der Kurvendiskussion nicht richtig verstanden hat und oder diese sogar falsch durchgeführt hat.

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Die Scheitelform ist ein günstigerer Ausgangspunkt für eine daran anschließende Kurvendiskussion. Vieles lässt sich daraus ohne Mühe ermitteln oder unmittelbar ablesen.

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Die Scheitelform ist ein günstigerer Ausgangspunkt für eine daran anschließende Kurvendiskussion. Vieles lässt sich daraus ohne Mühe ermitteln oder unmittelbar ablesen.

Erstmal hat nicht jedes Polynom eine Scheitelpunktform. Und dann fällt es den Schülern meist leichter eine Ableitung zu bilden und Null zu setzen als in die Scheitelform umzuformen.

In der Übungsphase ist es aber sicher ratsam beides zu machen und zu können.