Identität zweier Terme: Summe und Bruch (x^n - y^n)/(x-y) zeigen

Question

Hallo Freunde! Weiß einer von euch, wie man diese Identität zeigt? Ich sitze schon eine ganze Weil daran, aber komme nicht drauf...

Aufgabe:

Zeigen Sie für \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und \( x, y \in \mathbb{R} \) die Gleichheit

$$ \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k} $$

Answer 1

Beweise die Gültigkeit dieser Identität mit vollständiger Induktion.

Comments

Danke, aber leider wird mein Problem dadurch nur verschoben. Gehen wir rüber zum Induktionsschritt.

\(\frac{x^{n+1} - y^{n1}}{x-y} = \frac{x^{n}x - y^{n}y}{x-y} \)

Aber wie dann weiter? Ich habe ein bisschen umgeformt und kam auf:

\( ... =( \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}   )\cdot  (x-y) + \frac{y^{n}x - x^{n}y}{x-y} \)

...womit ich wieder bei meinem Anfangsproblem wäre. Kannst du mir bitte sagen, was ich falsch mache?

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Du solltest die Behauptung umformen zu \( x^n-y^n=(x-y)\cdot\sum\limits_{}^{}{...} \), dann kannst du auch einen vernünftigen Induktionsbeweis starten.

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Okay, danke, dann also:

\(x^{n+1} - y^{n+1} = \)

\((x^{n} - y^{n})(x+y)- x^{n}y + y^{n}x \)

Dies ist die einzige Umformung, die mir einfällt, aber ich gelange mit ihr nicht zum Ziel...

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Ich sehe nicht, dass du mit der von mir umgeformten Behauptung einen INDUKTIONSBEWEIS gestartet hättest...

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Das ist der Induktionsschritt. Sorry, habe IA und IV ausgelassen, um nicht so viel tippen zu müssen.

IA:  ...

IV:  \( x^n - y^n = \) \((x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1} (...)\)

IS:

 \(x^{n+1} - y^{n+1} = x^{n}x - y^{n}y\)

\(=(x^n -y^n)(x+y) - x^{n}y + y^{n}x  \)

\(= (x+y)(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1} (...) -x^{n}y + y^{n}x  \)

\(= (x^2 - y^2)\sum\limits_{k=0}^{n-1}(...) - x^{n}y + y^{n}x  \)

Jetzt weiß ich leider nicht weiter. Kannst du mi bitte helfen?

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Die Induktionsvoraussetzung ist \((x-y)\sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k}=x^n-y^n\)

Induktionsschritt: Jetzt kommt ein neuer Summand dazu (statt bis n-1 wird jetzt bis (n+1)-1, also bis n summiert).

Der neue Summand in der Summe heißt dann \(x^ny^{-1}\) und wird links mit (x-y) multipliziert. Links kommt somit  \(x^ny^{-1}\)(x-y) dazu.

Addiere also zur Induktionsvoraussetzung auf beiden Seiten  \(x^ny^{-1}\)(x-y) und zeige, dass rechts dann \(x^{n+1}-y^{n+1}\)  rauskommt.

Answer 2

Bringe den Nenner auf die andere Seite und multipliziere aus, indem Du die Gesetze der Summation benutzt.

Answer 3

Hallo,

Induktion ist hier nicht vonnöten.

Multipliziere mit (x-y) und rechne dann die rechte Seite aus. Da heben sich fast alle Summanden weg.

Comments

Habs jetzt hinbekommen, danke! :) Man soll nun mithilfe dieser Identität zeigen, dass

 \(f: D \to \mathbb R, f(x) = \sqrt[n]{x} \)

für \(D = [1, \infty) \) Lipschitz-stetig ist. Hast du dafür auch eine Idee?

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Verwende:

$$|\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}|=\frac{|x-y|}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}<=L|x-y|$$

Der Faktor

$$\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}$$

wird maximal für möglichst kleine x,y also x=y=1. Dann ist

$$L=\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} 1}=\frac{1}{n}$$

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Vielen Dank! Wie bist du aber auf den ersten Umformungsschritt gekommen?

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Obwohl, vergiss die Frage. Ich habe eine andere: Woran hast du erkannt, dass der Ausdruck maximal wird für möglichst kleine x, y? Kannst du mir bitte noch diese Frage beantworten?

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Ein Bruch wird groß wenn der Nenner klein wird.

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Stimmt, sorry, hatte mich verguckt