Wie müssen l und r gewählt werden, damit die Fläche des rechteckigen Spielfelds maximal wird?

Question

eine weitere Aufgabe worin ich so gut wie null Plan habe.
Die Rasenfläche eines Sportplatzes hat die Form eines Rechtecks (Länge l) mit zwei angesetzten Halbkreisen (Radius r). Der Umfang des gesamten Spotplatzes beträgt 400,. Wie müssen r und l gewählt werden, damit die Fläche des rechteckigen Spielfeldes maximal wird?

Ich weiß leider nicht so genau wie ich die Aufgabe lösen soll, ich weiß bloß dass man Extrempunkte benötigt und die Hauptbedingung A=a⋅b
für a=l
für b=r
(glaub ich)

Naja, jetzt weiß ich nicht wie es weiter geht und irgendwie versteh' ich nicht was Ableitungen bei solchen Anwendungsaufgaben zu suchen haben. Könnte mir das jemand netterweise erklären? Denn ich dachte immer das die 1. Ableitung für den Anstieg einer Funktion steht an einem x-beliebigen Punkt... was hat dies mit der Aufgabe zutun?

Würde mich für jede Hilfe freuen. :-)

Answer 1

Es gilt:

2·l + 2·pi·r = 400
l = 200 - pi·r

Außerdem gilt:

A = 2·r·l
A = 2·r·(200 - pi·r) = 400·r - 2·pi·r^2

Um ein Maximum zu bekommen muss die Ableitung Null werden. Die Steigung muss ja in einem Maximum Null werden. Wenn du über einen Berg spazierst, hast du an der höchsten Stelle auch keine Steigung mehr zu überwinden.

A' = 400 - 4·pi·r = 0
r = r = 100/pi = 31.83

l = 200 - pi·r = 100