Stetigkeit von f(x):= x^3 zeigen

Question

Nach der Aufgabe soll man die stetigkeit zeigen ohne 3te wurzel zu benutzen und mit ε und δ arbeiten.

also |f(x)-f(x_o)|=|x³-x_o³|<δ. Soweit ich verstanden habe, soll man jetzt das ganze umformen so dass x-x_o auftaucht. Ich krieg es aber nicht raus wie man dahin kommt-.- Ich danke im Voraus

Comments

|f(x)-f(x_o)|=|x³-x_o³|<δ.

'umformen, dass x-x₀ also Epsilon auftaucht', kann ich.

|x^3 - x₀^3 | = | (x - x₀) (x^2 + x x₀ + x₀ ^2)|

Ich hoffe, das bringt was. Im zweiten Faktor steht jetzt beinahe 3 x^2 oder 3 x₀^2.

Answer 1

 

Da auf meinen Kommentar keine Reaktion kam, nehme ich an, dass hier diese Umformung gesucht war:

|f(x)-f(x_o)|=|x³-x_o³|<δ.

'umformen, dass x-x₀ also Epsilon auftaucht', kann ich.

|x^3 - x₀^3 | = | (x - x₀) (x^2 + x x₀ + x₀ ^2)| = | (x - x₀) | |(x^2 + x x₀ + x₀ ^2)| 

Im zweiten Faktor steht jetzt beinahe 3 x^2 oder 3 x₀^2.

Also 

Delta etwa (Epsilon * 3x₀² )

und man kann in etwa Epsilon = Delta / 3x₀² wählen, um dann einen Funktionswert in der gesuchten Delta-Umgebung von f(x₀) zu erhalten. Somit ist f(x) = stetig. (Anm: Bei x₀ = 0 genügt auch Delta/3)

 

Comments

Hi lu,

wieso steht jetzt im zweiten Faktor "beinahe 3 x² oder 3 x₀² " ?

Und wieso kann ich das Epsilon jetzt mit (Delta / 3x₀² ) abschätzen? Was passiert mit den x- Termen?

---

Hi Anonym.

Du betrachtest ja den Grenzwert x gegen xo. Deshalb sind alle x in der Summe etwa xo. Daher komme ich auf etwa 3xo^2.

Answer 2

Ich hätte das wie folgt gezeigt:

| f(x + δ) - f(x) | < ε
| (x + δ)^3 - x^3 | < ε
| (x^3 + 3·x^2·δ + 3·x·δ^2 + δ^3) - x^3) | < ε
| (3·x^2·δ + 3·x·δ^2 + δ^3) | < ε
| δ·(3·x^2 + 3·x·δ + δ^2) | < ε

Zu jedem ε lässt sich jetzt ein δ finden, sodass die gegebene Gleichung erfüllt ist. Denn:

lim δ→0 | δ·(3·x^2 + 3·x·δ + δ^2) | = 0 < ε