Kongruenzsystem lösen. Lösung überprüfen

Question

ich soll folgendes Kongruenzsystem lösen:

2x = 0 mod 2

x = 2 mod 4

x = 3 mod 5

x = 3 mod 7

Jetzt wollte ich 2x=0 mod 2 umschreiben. Allgemeines Vorgehen ist ja bei solchen Gleichungen ein multiplikative Inverse zu finden, aber 2 hat in mod 2 keins. Aus diesem Grund hab ich durch eine Seite herausgefunden, dass solche Gleichungen eine Lösung haben, wenn der ggt aus a und m (hier ggT(2;2)=2) das b( hier die 0) teilt. Und das geht ja auch hier. Und es ergibt sich dann folgende Gleichung:

x = 0 mod 1

x = 2 mod 4

x = 3 mod 5

x = 3 mod 7

Die obige Kongruenz ist ja immer erfüllt und dann hab ich nur noch den chinesischen Restsatz angewendet und erhalte 38 +140Z als Lösung.

Stimmt das?

Comments

2x = 0 mod 2

Guter Witz.

---

2x ≡ 0 mod 2 gilt für alle x ∈ℤ

x ≡ 2 mod 4 gilt für x=4k+2 mit k∈ℤ

x ≡ 3 mod 5 gilt für x=5k+3 mit k∈ℤ

x ≡ 3 mod 7 gilt für x=7k+3 mit k∈ℤ

---

Ja, das verstehe ich ja. Demnach müsste meine Lösung für alle Gleichungen stimmen.

---

Ähnliche Frage auch hier https://www.mathelounge.de/655204/kongruenzsystem-vereinfachen

Die erste "Gleichung" kannst du dann schon mal weglassen. Soweit offenbar auch schon klar?

Und ganz so einfach wie https://www.mathelounge.de/600358/losen-eines-kongurenzsystemes ist es wahrscheinlich nicht.

Was ist denn die Frage? Deine "Lösungen" könntest du "einsetzen". Bist du unsicher, ob deine Lösungsmenge vollständig ist?

Answer 1

Lösungsmenge ist richtig.

Die 38 ist die kleinste pos. Zahl, die alle Kongruenzen erfüllt

und wenn eine weitere es erfüllt, also 38 + k . dann  muss

sowohl bei Division durch 4 als auch durch 5 und 7 den Rest 0m lassen,

also ein Vielfaches von 4*5*7=140 sein.