Funktionenschar punktsymmetrisch?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar F mit f (x) = x³ - t² x + 3 (teR). (Graph von f, in Fig. 2)
a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von f punktsymmetrisch zum Punkt P(0|3)
verlaufen.

Problem/Ansatz:

f(-x)=-f(x)

Das ist ja der Ansatz aber wie soll ich das nachweisen?

-3=f(-x) ?????

Answer 1

Gegeben ist die Funktionenschar F mit f (x) = x^3 - t^2 x + 3 (t∈R). (Graph von f, in Fig. 2)
a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von f punktsymmetrisch zum Punkt P(0|3)
verlaufen.

f ₁(x) = x³ - t² x

f₁(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. hier gilt f₁(-x)=-f₁(x)

f(x)=f₁(x)+3

Der Summand +3 bewirkt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung. Dabei wird die Form nicht verändert.

Das Spiegelzentrum wird ebenfallso verschoben, nämlich von (0|0) nach (0|3). Also sind die Graphen von  punktsymmetrisch zu (0|3).

PS:

f(-x)=-f(x)

Das ist ja der Ansatz ...

Das gilt nur bei Punktsymmetrie zum Ursprung.

Answer 2

Wende die Definition für Punktsymmetrie

$$f(a+x)-b = -f(a-x)+b$$ auf den Punkt $(a|b) = (0|3)$ an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsymmetrie

Answer 3

Du verschiebst den Symmetriepunkt (a;b) auf den Ursprung mit

g(x) = f(x+a)-b

Dann wendest Du die Regel an:

g(-x) = -g(x)

(Das ist im Prinzip das Gleiche, was ullim sagt, rechnet sich aber leichter.)