Beweis einer Dimension

Question

Wie beweist man eine Dimension?

Sagen wir mal ich habe 3 Vektoren (aufgespannte Untervektorraun in abhängigkeit von k)

K€R und fixiert VR=R^3

V1( 1,2,k+2)

V2(-1,k+1,1)

V3(0,k,1)

Answer 1

Vereinfache solange, bis nur ganz einfache Vektoren da stehen, so dass man die dim des Erzeugnisses sofort sieht!

Wie in der Aufg.:

https://www.mathelounge.de/686183/beweis-von-span-u-basis#a686253

Comments

Super danke dir , ich hatte die Frage zusammen mit der Anderen gestellt , weshalb mir nach deiner Antwort in meinem anderen Thread direkt eine möglicher Lösungsweg für dieses kam .

Vielen Vielen Dank

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Hallo Helmus,

Hatte es jetzt mit den Gauß- Algorithmus Versucht und bleibe immer in letzten Schritt hängen ich habe folgendes raus:

A b c r.S

1  -1   0   0

2  t+1 t.  0

t+1 t   1. 0

2* die 1 Zeile=

2   -2  0. 0

2.  t+1 t. 0

t+2 t.  1.  0

Dann 1 Zeile- 2 Zeile

2.     -2.   0

0.     -t-3. -t

T+2  t.      1

Dann habe ich versucht 3 Zeile -t

1 Zeile bleibt

2 Zeile bleibt

2.  0.  1-t

Und jetzt komme ich leider nicht mehr weiter könntest du eventuell mir sagen wo der Fehler liegt?

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\( \begin{pmatrix} 1& 2&k+2 \\ -1 & k+1&1 \\ 0 & k&1\end{pmatrix} \)   Spalten und Zeilen vertauschbar. Wenn Gauss, dann in der 1. Spalte k vermeiden, um die Fallunterscheidung hinauszuzögern.

\( \begin{pmatrix} 1& 2&k+2 \\0 & k+3&k+3 \\ 0 & k&1\end{pmatrix} \)

2.Sp - 2*1.Sp und3.Sp-(k+2)*1.Sp  : bringt Nullen, ohne den Rang der Matrix = dim des Erzeugnisses zu ändern

\( \begin{pmatrix} 1& 0&0 \\0 & k+3&k+3 \\ 0 & k&1\end{pmatrix} \)

2.Zeile - 3.Z.

\( \begin{pmatrix} 1& 0&0 \\0 & 3&k+2 \\ 0 & k&1\end{pmatrix} \)

3. Z - 1/3  *k * 2.Z

\( \begin{pmatrix} 1& 0&0 \\0 & 3&k+2 \\ 0 & 0&1-1/3  *k*(k+2)\end{pmatrix} \)

Wenn m₃₃=0, dann rang(Matrix) = dim(Erzeugnis) = 2

Wenn m₃₃≠0, dann rang(Matrix) = dim(Erzeugnis) = 3

(d.h. die Ausgangsvektoren waren l.u.)

Wenn ihr noch nichts wisst über rang, det, Dreiecksmatrizen, bleibt bei der Vektordarstellung!

Betrachte den Fall m₃₃=0:

1-1/3 *k*(k+2)=0

k²+2k-3=0

(k-1)(k+3)=0

Falls k=1 oder k=-3 waren die Ausgangsvektoren l.a und dim(Erzeugnis)=2

Falls k≠1 oder k≠-3 waren die Ausgangsvektoren l.u und dim(Erzeugnis)=3