Konvergenz von Reihen bei Produkt

Question

Es ist bekannt, dass die Reihen $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}|a k |^2 $$ und $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}|b k |^2$$ konvergieren.

Wie kann ich zeigen, dass $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a k b k $$ konvergiert?

Comments

Oh, tut mir leid, die Indizes müssen natürlich 'n' lauten!

Answer 1

Da \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}|a_n |^2\) konvergiert, gilt \(|a_n|\to 0\), also \(|a_n| \leq 1\). Also gilt:$$0\leq \sum_{n=0}^{\infty}{a_nb_n}\leq \sum_{n=0}^{\infty}{|a_nb_n|}\leq \sum_{n=0}^{\infty}{|b_n|}$$ Warum konvergiert \(\sum_{n=0}^{\infty}{|b_n|}\)?