Mächtigkeit von ℤ7 identisch zur Mächtigkeit von ℤ?

Question

Hab nur eine kurze Verständnisfrage:

Die Mächtigkeit von abzählbar unendlichen Mengen beträgt ja "alef0" d.h die Mächtigkeit von ℕ,ℤ,ℚ sind ident richtig?

Wie sieht das aber mit z.B ℤ₇  ?

ℤ₇ is ja definiert als die Menge der Restklassen {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}

die einzelnen Restklasse bestehen ja jeweils aus alle Zahlen ∈ ℤ, so dass eine Division mit der Zahl 7 den Rest der jeweiligen Restklasse ergibt. das bedeutet [0] = {...-7,0,7,14,21,28,35....} meiner Meinung nach müsste die Mächtigkeit von ℤ₇ dann ebenfalls "alef0" also ident zu ℤ sein oder? Weil im Prinzip wird jedes Element aus ℤ durch eine Restklasse getroffen oder?

Kann mir jemand bestätigen das ich damit richtig liege, bzw. alles hier aufgezählte soweit richtig verstanden habe?

mfg und danke im voraus!

Answer 1

Jede einzelne Restklasse hat abzählbar unendlich viele Elemente, ist also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Aber die Menge der Restklassen modulo 7 hast du selbst als Menge angegeben, die hat genau 7 Elemente. Dass die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen gleichmächtig sind, hast du korrekt verstanden.

Comments

D. h. heißt also das Z7 nicht gleichmächtig wie Z ist oder? Weil Z7 aus sieben Elementen besteht richtig? Aber z.b die Restklasse [1]mod7 wäre gleichmächtig zu Z oder?

---

Genau richtig.

---

hätte noch eine kleine Nebenfrage wollte dafür aber keinen eigenen Thread öffnen:

Die Potenzmenge jeder Menge hat eine höhere Mächtigkeit selbst.

Also hat die P(ℕ) eine höhere Mächtigkeit als ℕ

Das bedeutet aber das P(ℕ) auch eine höhere Mächtigkeit als ℤ hat richtig?

---

Mehr als "ja" kann ich dir dazu nicht sagen. Du hast es verstanden.