Vollständige Induktion bei Ungleichung mit Fakultät: Ungleichung n^n ≤ (2n)! beweisen

Question

heyy Leute ,

Vollständige Induktion bei Ungleichung mit Fakultät: Ungleichung n^n ≤ (2n)! beweisen

Eine Frage, und zwar ich komme bei einer Stelle nicht weiter könnte bitte einer behilflich sein .

Vielen Dank!!

Answer 1

Nicht z.z: nⁿ⁺¹ ≤ (2(n+1))!, sondern (n+1)ⁿ⁺¹ ≤ (2(n+1))!.

Comments

Stimmt ... ich komme aber dann hier nicht weiter weil ich nicht auf nn komme. Dann könnte ich die IV anwenden . Ich habs auch versucht auszuklammern,aber das macht das ganze nich komplizierter..

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Vielleicht klappt der IS so:$$\begin{aligned}(n+1)^{n+1}&=(n+1)\cdot(n+1)^n\\&=(n+1)\cdot\left(1+\tfrac1n\right)^n\cdot n^n\\&<(n+1)\cdot3\cdot(2n)!\\&<(n+1)\cdot(4n+2)\cdot(2n)!\\&=(2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)!\\&=(2n+2)!\end{aligned}$$

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dankee ! Aber wie kommst du auf (1+\( \frac{1}{n} \) )ⁿ  *n ?weil wenn ich das wieder umforme, komme ich nicht  auf die (n+1)ⁿ

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@elanur: Bruchrechnung. Du hast dort einen Teil unterschlagen. Dann nicht rückgängig machen sondern (so bald möglich) Induktionsvoraussetzung verwenden.

Mit einer geeigneten Substitution könntest du eventuell auch https://www.mathelounge.de/286739/ungleichung-mit-fakultat-zeigen-vollstandiger-induktion benutzen.

Answer 2

Hallo

 multipliziere die Ind. Vors mit (2n+1)*(2n+2) dann ist die rechte Seite das gesuchte, die linke kannst du auf n^(n+1) verkleinern.

Gruß lul