Abstand berechnen von einem Punkt der in der Ebene liegt

Question

Aufgabe

Gegeben sind der Punkt R (5 -4 3) und die Ebene E: 2x - 2y + y = 0.

a) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R von der Ebene E sowie drei weitere Punkte, die den gleichen Abstand von E          haben.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe gibt es aber schon hab aber ein anderes Problem. Habe schon den Lotfußpunkt berechnet und der Abstand ist 7. Jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

Ich weiß nur dass ich die Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors nehme und dann den Punkt R einsetze. Aber was dann?

Answer 1

Hallo

 ist n der Einheitsnormalenvektor, so liegt die Ebene E7   n*x=7 parallel zur Ebene  E0 n*x=0 alle Punkte dieser Ebene E7 haben also den Abstand 7 von E0. damit findest du beliebig viele Punkte, die den Abstand  7 von E0 haben.

Gruß lul

Answer 2

Aufg, falsch abgeschrieben, es heißt wohl z in der Gleichung!

Es fehlen also noch die 3 anderen Punkte, die auch den Abstand 7 von der Ebene haben sollen.

Nimm einen beliebigen Vektor, der senkrecht auf \( \vec{n_{E}} \) steht und addiere ihn zum Ortsvektor von R.

\( \vec{n_{E}} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\1 \end{pmatrix} \)

orthogonal dazu: \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , denn das Produkt mit \( \vec{n_{E}} \) ist 0.

andere orth. Vektoren: \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \) oder das 3-fache davon.

Alle diese Vektoren kannst du zu \( \vec{r} \) addieren und du bleibst im gleichen Abstand von E!

Answer 3

Setze den Punkt \(R=\begin{pmatrix}5& -4& 3\end{pmatrix}^T\) in die Ebenengleichung $$E: \space \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1\end{pmatrix} \vec x = 0$$ein. Man erhält eine neue Ebene \(E'\) $$ \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1\end{pmatrix}  \cdot R = 21 \implies E': \space \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1\end{pmatrix} \vec x = 21$$Jeder Punkt der Ebene \(E'\) und damit jede Lösung der Gleichung \(2x-2y+z=21\) hat von \(E\) den gleichen Abstand wie \(R\). z.B.: \(P\begin{pmatrix}4& -4& 5\end{pmatrix}^T\) und \(Q \begin{pmatrix}6& -4& 1\end{pmatrix}^T\)

(klick auf das Bild)