Summen, Summenzeichen ausrechen

Question

Hallo,

bitte um Kontrolle und Rückmeldung der Aufgaben. Gibt es vielleicht noch kürzere Lösungswege (falls meine richtig sind?)

1) \( \sum\limits_{j=1}^{4}({\dfrac{\sum\limits_{k=2}^{5}{k^2}}{\sum\limits_{i=1}^{3}{i}}} \))*j   (der Bruch steht in Klammern)

Meine Lösung: \( \dfrac{2^2+3^2+4^2+5^2}{1+2+3} \) * 1 + \( \dfrac{2^2+3^2+4^2+5^2}{1+2+3} \) *2 + \( \dfrac{2^2+3^2+4^2+5^2}{1+2+3} \) * 3 + \( \dfrac{2^2+3^2+4^2+5^2}{1+2+3} \) *4 = 9+18+27+36 = 90

2) \( \sum\limits_{k=0}^{10}{\begin{pmatrix} 10\\10-k \end{pmatrix}} \)

= \( \begin{pmatrix} 10\\10 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\9 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\8 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\7 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\6 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\5 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\3 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\2 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\1 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10\\0 \end{pmatrix} \) = 1024

3) \( \sum\limits_{k=2}^{10}{\dfrac{10*(-\sqrt{2})^{2*k-1}}{2^{2*k}}} \)

= \( \dfrac{10*(-\sqrt{2)} ^3+10*(-\sqrt{2)} ^5+10*(-\sqrt{2)} ^7+10*(-\sqrt{2)} ^9+10*(-\sqrt{2)}^(11)+10*(-\sqrt{2)} ^(13)+10*(-\sqrt{2)} ^(15)+10*(-\sqrt{2)} ^(17)+10*(-\sqrt{2)} ^(19)}{2^4+2^6+2^8+(........) + 2^{20}} \)     

 (die Zahlen nach der Klammer im Nenner sind alles Exponenten, nach der 11 hat das Programm die nicht richtig übernommen)

Answer 1

Hallo,

Gibt es vielleicht noch kürzere Lösungswege?

Ja - allerdings! Bei allen Summen sollte man Faktoren, die nicht von der Laufvariable abhängig sind, aus der Summe heraus nehmen. Also bei 1):$$\sum\limits_{j=1}^{4} \left(\frac{\sum\limits_{k=2}^{5}{k^2}}{\sum\limits_{i=1}^{3}{i}}\right) \cdot j = \frac{\sum\limits_{k=2}^{5}{k^2}}{\sum\limits_{i=1}^{3}{i}} \sum_{j=1}^4 j = \frac{54}{6} (1+2+3+4) = 9 \cdot 10 = 90$$Wenn man die Summe der Binominakoeffizenten kennt, wird 2) einfach $$\sum_{k=0}^{10} {10 \choose 10- k} = 2^{10} = 1024$$und bei Aufgabe 3) gilt wieder Regel 1 (s.o.) und vereinfachen sollte man den Ausdruck auch, so weit möglich$$\sum\limits_{k=2}^{10}{\frac{10(-\sqrt{2})^{2k-1}}{2^{2k}}} = 10 \sum_{k=2}^{10} \frac{2^k }{2^{2k} \cdot (-\sqrt 2)} = -\frac {10 }{\sqrt 2}\sum_{k=2}^{10} \frac 1{2^k}$$Letzteres ist eine geometrische Reihe. Es geht weiter mit$$\dots = -\frac {10 }{\sqrt 2} \cdot \frac 14 \sum_{k=0}^{8} \frac 1{2^k} = \frac 5{2 \sqrt 2} \cdot \frac {1 - \left(\frac 12 \right)^9}{1 - \frac 12} = \frac 5{\sqrt 2} \left( 1 - \left( \frac 12 \right)^9\right)$$(und hoffentlich habe ich mich jetzt nicht verrechnet - bitte prüfen)

Comments

Hallo,

Oohhh vielen lieben Dank!

Könntest du mir vielleicht noch sagen, was du genau mit Summe der Binomialkoeffizienten meinst? Das kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen :/

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Oder nehme ich dabei immer die 2 als Basis und die Anzahl der Binomialkoeffizienten als Exponenten? (Bei 2))

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... was du genau mit Summe der Binomialkoeffizienten meinst?

Das was da steht: $$\sum_{i=0}^{10} { 10 \choose 10 - k} = \sum_{i=0}^{10} { 10 \choose k} = 2^n$$Ich habe Dir oben einen  Link hinzugefügt (s.o.).

Du kennst doch bestimmt das Pascalsche Dreieck. Jedes Element besteht aus einem Binominalkoeffizienten. Und jedes Element berechnet sich aus der Summe der beiden Elemente, die schräg über ihm stehen. Da jedes Element zwei Vorgänger hat - außer die 1'en am Rande - hat auch jedes Element zwei Nachfolger. Daraus folgt, dass die Summe aller Zahlen in einer Zeile des Pascalschen Dreiecks immer doppelt so groß ist, wie die Summe der vorhergehenden Zeile. Und da die '0'te Zeile' mit 1 beginnt, ist jede Zeilensumme \(2^n\).

Oder nehme ich dabei immer die 2 als Basis und die Anzahl der Binomialkoeffizienten als Exponenten? (Bei 2))

Die Basis ist immer die \(2\) und die Anzahl ist immer die Anzahl aller(!) Binminalkoeffizienten einer Zeile, bzw. mit festem \(n\) (der obere Wert).

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Das Pascalsche Dreieck kenne ich tatsächlich nicht. Damit werd ich mich aber auf jeden Fall noch auseinander setzen. Das erleichtert auf den ersten Blick einiges.

Vielen, vielen lieben Dank für die Links und die ausführliche Erklärung! Das hilft mir sehr! :)

Answer 2

a) und b) sind richtig. Vereinfachung bei b) 9+18+27+36=9(1+2+3+4)=90

Comments

Vielen Dank! Wie siehst du die Vereinfachung bei b so auf Anhieb? Kannst du mir das vielleicht kurz erklären?

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Du hast \( \frac{2^2+3^2+4^2+5^2}{1+2+3} \) mit 9 berechnet. Also steht da 9·1+9·2+9·3+9·4.