Mehrdimesnionale Integrale berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral $$\int_{D}^{} f(x)dx$$  und skizzieren Sie den Normalbereich D

(a) f(x, y, z) = z^2 − xy mit D = [0, 2] × [0, 3] × [−1, 1],

(b) f(x, y) = x + y mit D = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤0,5, 0 ≤ y ≤ x^2},

(c) f(x, y) = (x + y)^2 mit D = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x/2 + 1}

Problem/Ansatz:

Ich weiß zwar wie man integrale berechnet aber nicht wie

(1) man Mehridmesnionale Integrale berchenet

(2) was Das D als untere Grenze zu bedeuten hat

(3) und die bei b) und c) definierten Definitionsbereiche

Answer 1

Aloha :)

Ganz schön viel Arbeit für die späte Stunde... ;)

Beim ersten Integral ist die Reihenfolge der Integration egal, weil die Intervalle für \(x,y\) und \(z\) nicht von einer Integrationsvariablen abhängen.$$\int\limits_D f_a(x)dx=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^3dy\int\limits_{-1}^1dz\left(z^2-xy\right)=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^3dy\left[\frac{z^3}{3}-xyz\right]_{z=-1}^1$$$$=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^3dy\left[\frac{1}{3}-xy-\left(-\frac{1}{3}+xy\right)\right]=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^3dy\left(\frac{2}{3}-2xy\right)$$$$=\int\limits_0^2dx\left[\frac{2}{3}y-xy^2\right]_{y=0}^3=\int\limits_0^2dx\left(2-9x\right)=\left[2x-\frac{9}{2}x^2\right]_0^2=-14$$

Beim zweiten Integral haben wir das Problem, dass \(y\in[0;x^2]\) ist. Daher müssen wir zuerst über \(y\) integrieren, weil wir erst danach durch Einsetzen der oberen Grenze \(x^2\) die Abhängigkeit von \(x\) vollständig hinschreiben können.$$\int\limits_D f_b(x)dx=\int\limits_0^{0,5}dx\int\limits_0^{x^2}dy\left(x+y\right)=\int\limits_0^{0,5}dx\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{x^2}=\int\limits_0^{0,5}dx\left(x^3+\frac{x^4}{2}\right)$$$$=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{10}\right]_0^{0,5}=\frac{1}{64}+\frac{1}{320}=\frac{6}{320}=\frac{3}{160}$$

Beim dritten Integral haben wir wieder die Situation, dass wir zuerst über \(y\) integrieren müssen, weil dessen untere und obere Grenzen von \(x\) abhängen.

$$\int\limits_D f_c(x)dx=\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{x/2+1}dy\left(x+y\right)^2=\int\limits_0^2dx\left[\frac{(x+y)^3}{3}\right]_{y=x}^{x/2+1}$$$$=\int\limits_0^2dx\left(\frac{\left(\frac{3}{2}x+1\right)^3}{3}-\frac{\left(2x\right)^3}{3}\right)=\int\limits_0^2dx\left(\frac{(3x+2)^3}{24}-\frac{8x^3}{3}\right)$$$$=\left[\frac{(3x+2)^4}{3\cdot4\cdot24}-\frac{8x^4}{12}\right]_0^2=\frac{1}{288}\left[(3x+2)^4-192x^4\right]_0^2$$$$=\frac{4096-3072-16}{288}=3,5$$