Lösen einer DGL mit dem charakteristischem Polynom y" + y = 0

Question

Aufgabe:

Ich habe eine generelle Frage zum Lösen homogener DGLn.

Wenn ich zum Beispiel die DGL:
y" + y = 0 mit Anfangswertbedingungen y(0)= -1  &  y'(0)=0
lösen möchte, kann ich doch auf zwei verschiedene Weisen vorgehen:

Entweder ich wähle den allgemein bekannten Ansatz y(x) = a*sin(x) + b* cos(x). Wenn ich hier die Bedingungen einsetze erhalte ich die Lösung: y(x)= -cos(x)

Ich kann doch aber auch über das charakteristische Polynom gehen (oder??):
Ich setze s^2 = 0, sodass ich für die NST des charakteristischen Polynoms eine doppelte Nullstelle in s = 0 erhalte.
Nun erhalte ich damit: y(x) = (a*x+c) * e^(0*x) = a*x+c
Setze ich hier nun wieder die Bedinungen ein erhalte ich y(x) = -1

Wieso komme ich nicht auf die selbe Lösung? Meine Vermutung ist, dass ich in diesem Fall das charakteristische Polynom nicht anwenden darf.. verstehe allerdings nicht warum ?

Falls es noch Fragen zur Aufgabe gibt, gerne stellen! Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort! :-)

Answer 1

Hallo,

Charakteristische Gleichung:

λ^2 +1= 0

λ_1,2= ± i

Lösung: y= C₁ cos(x) +C₂ sin(x)

ich schlage Die folgenden Weg vor:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

2.Seite

1.Punkt

3.Zeile

dann kommst Du ganz schnell und sicher zum Ergebnis.

In das Ergebnis mußt Du natürlich die AWB noch einsetzen.

Du kannst natürlich auch folgenden Weg tätigen:

y= C₁ e^( ix ) +C₂ e^(-ix) und dann weiter mit der Eulerschen Formel , ist aber etwas aufwendig.

Comments

oh man, jetzt wo ich deine Lösung lese bemerke ich meinen simplen Fehler beim Aufstellen des charakteristischen Polynoms.. :-)
Dankeschön!!!