Exponentialfunktionen: Zeige, dann ist f = expa

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ→ℝ eine stetige Funktion mit f(x + y) = f(x) · f(y) für alle x,y ∈ℝ und f(1) = a > 0.

Zeige, dann ist f = expa

Comments

Zeige, dann ist f = expa

Soll a die Basis der Exponentialfunktion sein?

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Hallo

f=exp(a) ist falsch, was steht da wirklich? exp(a) ist ne Konstante! meinst du a^x

1. es folgt direkt f(0)=1  mit f(1)=a folgt f(n)=a^n

f(1/n)=a^1/n  dann f(p/q) =a^p/q und dann die Stetigkeit

Gruß lul

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Fragesteller hat auch nicht exp(a) geschrieben, sondern expa . Interpretieren kann man das so:

exp_a

Exponentialfunktion zur Basis a , und das ist dann auch absolut richtig.

Answer 1

Nur eine Beweis-Skizze:

Ich würde da schrittweise vorgehen:

(1.)  Beweis für ganzzahlige Werte (Induktionsbeweis)

(2.)  Beweis für gebrochene Werte der Form  x = z/n  (dabei die Gesetze für Wurzeln bzw. Potenzen mit gebrochenen Exponenten nutzen)

(3.)  Mittels Stetigkeit auf den Bereich aller reellen x erweitern.

Answer 2

Aloha :)

Du meinst vermutlich \(f(x)=\exp_a(x)=\exp(x\cdot\ln a)=a^x\) mit \(f(1)=a>0\)

1. Schritt: \(n\in\mathbb{N}_0\)

Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass \(f(n)=a^n\) für \(n\in\mathbb{N_0}\)

Verankerung bei \(n=0\):$$a=f(1)=f(1+0)=f(1)\cdot f(0)=a\cdot f(0)\quad\Rightarrow\quad f(0)=1=a^0=a^n\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$f(n+1)=f(n)\cdot f(1)\stackrel{I.V.}{=}a^n\cdot a=a^{n+1}\quad\checkmark$$Damit haben wir  gezeigt: \(f(n)=a^n\) für \(n\in\mathbb{N}_0\).

2. Schritt: \(z\in\mathbb{Z}\)

Sei \(n\in\mathbb{N}\), dann gilt nach Schritt 1:$$1=f(0)=f(n-n)=f(n)\cdot f(-n)\quad\Rightarrow\quad f(-n)=\frac{1}{f(n)}=\frac{1}{a^n}=a^{-n}$$Zusammen mit Schritt 1 gilt also: \(f(z)=a^z\) für \(z\in\mathbb{Z}\).

3. Schritt: \(x\in\mathbb{Q}\)

Wir setzen \(x=\frac{p}{q}\) mit \(p\in\mathbb{Z}\) und \(q\in\mathbb{N}\), dann gilt nach Schritt 2:$$a^p=f(p)=f\left(q\cdot\frac{p}{q}\right)=f(q)\cdot f\left(\frac{p}{q}\right)=a^q\cdot f\left(\frac{p}{q}\right)$$$$\Rightarrow\quad f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{a^p}{a^q}=a^{p/q}$$Damit haben wir gezeigt: \(f(x)=a^x\) für \(x\in\mathbb{Q}\).

4. Schritt: \(x\in\mathbb{R}\)

Sei nun \(x\in\mathbb{R}\), dann gibt es eine Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) rationaler Zahlen mit \(\lim x_n=x\). Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der Funkton \(f\) und der Stetigkeit von \(\exp_a(x)=a^x\), folgt daraus:$$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(a^{x_n}\right)=a^x$$Damit haben wir gezeigt: \(f(x)=a^x\) für \(x\in\mathbb{R}\).