Textaufaufgabe zu Matrizen

Question

Gegeben ist die Matrix M=

-1	2	1
2	-1	2
0	0	0

(Sry, weiß nicht wie man richtig die Matrix schreibt :( )

Gegen ist die Gerade g:

g:x = \( \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} \) +r \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\0 \end{pmatrix} \)

Aufgaben:

a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgerade g^  von g unter der durch Matrix M definierten Abbildung und untersuchen Sie die Lagebeziehung der Gerade g und g^.

b) Begründen Sie: Ist eine Gerade h zu g parallel, so ist ihr Bild h^ unter der durch die Matrix M definierten Abbildung ebenfalls parallel zu g.

c) Bestätigen Sie mithilfe einer Rechnung, dass jede Gerade mit dem Richtungsvektor v=\( \begin{pmatrix} 5\\4\\-3\end{pmatrix} \)  durch die Abbildung mit der Matrix M auf einen Punkt in der x-y-Ebene abgebildet wird.

Ansatz:

Bei der a) weiß ich nicht wie man auf die Bildgerade kommt. Würde gerne wissen wie man das berechnet.

Lagebeziehung ist mir klar. Muss schauen ob sie windschief oder identisch oder schneiden oder parallel sind.

b) Weis ich leider auch nicht.

c) Denke man muss die Matrix M multipliziern mit dem Vektor v

Answer 1

Hallo

 du bildest Aufpunkt und Richtungsvektor  ab also g^*=A*(3,1,0)^T+ r*A*(3,-3,0)

Matrixmultiplikatin ist Linear , parallele geraden haben gleiche Richtungsvektoren , bzw. die Richtungsvektoren sind nur durch einen Faktor unterschieden und r*A*x=A*(r*x)

c) ja, aber auch einen beliebigen Aufpunkt (a,b,c) abbilden,

Gruß lul

Comments

Danke, würde gerne wisssen ob ich auf dem richtigen Weg bin :)

Habe es leider noch nicht ganz verstanden.

Also bei der b) hab ich verstanden:

Dies liegt daran, dass die Richungsvektoren Parallel sind, also auch bei einer Matrixmultiplikation. Und der Faktor ist unabhängig

Bei der a) was ist nicht was mit Aufpunkt gemient ist :(

Bei der c)

-1	2	1
2	-1	2
0	0	0

* \( \begin{pmatrix} 5\\4\\-3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

-5 + 8 -3=x                x=0

10 -4 -6=y                 y=0

0=z                            z=0

Hab als Lösungsmenge L: x=0 , y=0 , z=0 Stimmt das?

Gruß

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Hallo

 ja der Richtungs Vektor wird auf den Nullpunkt abgebildet, jetzt musst du noch zeigen dass (a,b,c) auf einen Punkt in der x-y Ebene abgebildet wird also auf etwas wie (e,f,0) denn eine beliebige Gerade mit dem Richtungsvektor ist ja  g: x= (a,b,c)+r*(9,4,-3)

bei a) habe ich doch genau hingeschrieben , was du machen musst, mit A habe ich die gegebenen Matrix bezeichnet.

Gruß lul

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Ok Danke

Hab jetzt bei der a:

\( \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} \) +r\( \begin{pmatrix} 3\\-3\\0 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 3 +3r \\1-3\\0+0\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 3 +3r \\1-3r\\0+0\end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} -1+ 2+ 1\\+2 -1  +2\\0+0+0 \end{pmatrix} \)  =

Das dann berechnen und dann hab ich das richtige oder?

c)

Ich setzte dann einfach (x/y/z) in die Koordinatenebene 1x+1y=0.

Komme leider noch nicht so mit Matrizen klar :(

Gruß Maurice

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Hallo

 bei a) würde ich den Punkt und den Richtungsvektor einzeln einsetzen, aber so ist es auch richtig.

bei c) wirklich A*(a,b,c) rechnen. und feststellen, dass die dritte Koordinate verschwindet.

Gruß lul