Grenzwert Epsilon-Umgebung Lückenaufgabe

Question

ich versuche seit einigen Tagen diese Aufgabe zu knacken, bisher mit eher mäßigem Erfolg: 

Beschreibe den angeführten Rechengang und ergänze die fehlenden beiden Zeilen.

$$\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{x+5}{3x-3} = \frac{1}{3} \\[20pt] | \frac{\bar x+5}{3\bar x-3} -\frac{1}{3}|= | \frac{\bar x +5-(\bar x-1)}{3\bar x -3}| = | \frac{6}{3\bar x-3}| = |\frac{2}{\bar x -1}|= \varepsilon$$ ___________Fehlende Zeile _____________$$\\[20pt] \rightarrow für \quad x<1 \quad gilt \quad \bar x=-\frac{2}{\varepsilon}+1 \quad und\quad für\quad x>1 \quad gilt \quad \bar x=\frac{2}{\varepsilon}+1 \\[20pt] |f(x)-a|< \varepsilon \quad für \quad x>1 \quad und \quad für \quad x<1 \\[20pt] x<1:\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x>1: \\[20pt] x<\bar x \rightarrow |x-1| > |\bar x-1|=\frac{2}{\varepsilon} \qquad \qquad \qquad x>\bar x \rightarrow |x-1| > |\bar x-1|=\frac{2}{\varepsilon} \\[20pt]$$ ___________Fehlende Zeile  _____________   _______Fehlende Zeile_______________$$\rightarrow |f(x)-a|=|f(x)-\frac{1}{3}|=|\frac{x+5}{3x-3}-\frac{1}{3}|=|\frac{x+5-(x-1)}{3x-3}|\\[20pt] \qquad \qquad \quad = |\frac{6}{3x-3}|=|\frac{2}{x-1}|<2\cdot|\frac{1}{\bar x-1}|=2 \cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

Problem/Ansatz:

Für einen beliebigen Wert $$\varepsilon$$ wird ein Wert $$\bar x$$ benannt, sodass $$\frac{x+5}{3x-3}$$ zum Grenzwert $$g=\frac{1}{3}= \varepsilon$$ ist.

Mir erschließt sich allerdings absolut nicht, was in die fehlenden Zeilen soll, da ich ansonsten den Rechenweg nicht nachvollziehen kann - ich wäre daher nicht "nur" für eine Lösung dankbar, sondern für eine Hilfestellung/Erklärung, mit Grenzwertbestimmung kann ich gut arbeiten, aber da mir die Epsilon-Umgebung noch ziemlich neu ist stehe ich hier ziemlich auf dem Schlauch (und selbst ein befreundeter Matheabsolvent konnte die Aufgabe nicht nachvollziehen :/ ). Vielen Dank schonmal (und ich hoffe die LaTeX-Formeln sind okay so, bei den Brüchen sollten sie eigentlich größer sein aber dafür konnte ich nirgends einen Code finden)

Answer 1

$$\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{x+5}{3x-3} = \frac{1}{3}$$

In der Grenzwertdefinition heißt es bei euch vermutlich für den Grenzwert für x gegen unendlich

Zu jedem  ε > 0 gibt es ein x_quer so, dass für alle x > x_quer gilt  | f(x) - a | < ε

und bei x gegen - unendlich dann

Zu jedem  ε > 0 gibt es ein x_quer so, dass für alle x < x_quer gilt  | f(x) - a | < ε 

Und hier wird versucht auszurechnen bei welchem x_quer denn wohl Gleichheit gilt:

$$| \frac{\bar x+5}{3\bar x-3} -\frac{1}{3}|= | \frac{\bar x +5-(\bar x-1)}{3\bar x -3}| = | \frac{6}{3\bar x-3}| = |\frac{2}{\bar x -1}|= \varepsilon$$

 ___________Fehlende Zeile _____________

Da muss dann wohl hin: Für den Grenzwert für x gegen unendlich kann man ja x_quer > 1 und damit auch x>1 annehmen und damit in der letzen Gleichung den Betrag weglassen und umformen zu

$$\bar x=\frac{2}{\varepsilon}+1$$

und für x gegen - unendlich kann man entsprechend von x < 1 ausgehen und die letzte Gleichung wird ohne Betrag zu

$$\frac{2}{1-\bar x }= \varepsilon ==> \bar x=-\frac{2}{\varepsilon}+1$$

also:

$$\\[20pt] \rightarrow für \quad x<1 \quad gilt \quad \bar x=-\frac{2}{\varepsilon}+1 \quad und\quad für\quad x>1 \quad gilt \quad \bar x=\frac{2}{\varepsilon}+1 \\[20pt] |f(x)-a|< \varepsilon \quad für \quad x>1 \quad und \quad für \quad x<1 \\[20pt] x<1:\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x>1: \\[20pt] x<\bar x \rightarrow |x-1| > |\bar x-1|=\frac{2}{\varepsilon} \qquad \qquad \qquad x>\bar x \rightarrow |x-1| > |\bar x-1|=\frac{2}{\varepsilon} \\[20pt]$$

___also für x gegen minus unendlich  ____   ____und auch für x gegen unendlich_____

$$\rightarrow |f(x)-a|=|f(x)-\frac{1}{3}|=|\frac{x+5}{3x-3}-\frac{1}{3}|=|\frac{x+5-(x-1)}{3x-3}|\\[20pt] \qquad \qquad \quad = |\frac{6}{3x-3}|=|\frac{2}{x-1}|<2\cdot|\frac{1}{\bar x-1}|=2 \cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

Damit ist die jeweilige Grenzwertdefinition erfüllt.