Komplexe Zahlen: Polardarstellung/Gauß-Ebene

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( \alpha>0 \) eine reelle Zahl.
(i) Geben Sie die komplexe Zahl \( z_{0}=\alpha-\alpha i \) in Polardarstellung.
(ii) Wie lauten die Lösungen der Gleichung \( z^{2}-8 i z=16+\overline{z_{0}} ? \)

(b) Sei \( z_{1}=\sqrt{6}+\sqrt{6} i \) und \( z_{2}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2} i . \) Mit Hilfe der Polardarstellung von \( z_{1} \) und \( z_{2} \) berechne man \( z_{1}^{4} z_{2}^{8} \)

(c) Auf welcher Kurve in der Gauß-Ebene liegen die komplexen Zahlen \( z=x+ \) iy, die durch die folgende Gleichung beschrieben werden
$$ |z+4 i|^{2}=\operatorname{Re}(z+c), \quad c \in \mathbb{R} $$

Answer 1

a) i)
Klammere erstmal α aus, dann erhält man

z₀ = α(1-i)
Der Betrag von z₀ ist also

|z₀| = α*√2

Da der Realteil von z₀ größer als 0 ist, gilt außerdem für den Phasenwinkel φ:

φ = arctan(Im(z₀)/Re(z₀))

φ = arctan(-1) = -π/4

Also gilt:
z₀ = α√2 * e^-iπ/4

ii) Die Gleichung lässt sich erstmal umstellen, indem man die 16 subtrahiert und links die binomische Formel verwendet:
(z-4i)² = z₀

Jetzt muss die Wurzel aus z₀ gezogen werden, das hat zwei Lösungen:
Für den Betrag |w₀| der Wurzel gilt |w₀|² = |z₀| also

|w₀| = √(α√(2))

Für den Winkel ψ der Wurzel gilt 2ψ = φ + 2πk mit k∈{0,1}

Es gibt also zwei Lösungen:

w₁ = √(α√(2)) e^-iπ/8

w₂ = √(α√(2)) e^-i9π/8

Damit lauten die Lösungen:

z₁ = 4i + √(α√(2)) e^-iπ/8

z₂ = 4i + √(α√(2)) e^-i9π/8

 

2) Hier klammert man wieder erstmal √6 bzw. 5/2 aus und erhält dann eine komplexe Zahl mit dem Betrag √2.

Der Winkel unterscheidet sich, es gilt

φ₁ = arctan(1) = π/4

φ₂ = arctan(-1) = -π/4

Also

z₁ = √(12) * e^iπ/4

z₂ = 5/√(2) * e^-iπ/4

 

Beachtet man die Regel von eben (Beträge multiplizieren, Winkel addieren) erhält man:

z₁⁴z₂⁸ = 12²*5⁸/2⁴ * e^iπ * e^-i2π = -3515625

 

c) Hier muss man eine Form für y(x) finden oder aber eine bestimmende Gleichung f(x,y) = 0, mit der sich charakteristische Aussagen über die beschriebende Lösungsmenge treffen lassen. Dafür setze ich z=x+iy in die Formel ein:

|z+4i|² = Re(z+c)
|x+(4+y)i|² = Re(x+c + iy)

x²+(4+y)² = x+c  |-x

x²-x +(4+y)² = c  |+0.25

x²-x+1/4 + (4+y)² = c + 1/4

(x-1/2)² + (4+y)² = c+1/4

 

Es handelt sich also um einen Kreis mit dem Radius √(c+1/4) um den Punkt (1/2, -4).

Comments

vielen dank für die antwort :)

könntest du jedoch a und b nochmal schritt für schritt verdeutlichen?

so ganz bin ich noch nicht hintergestiegen

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speziell a(ii) und b

dazu die frage wie du bei c von der 2ten zeile zur dritten kommst?

also |x+(4+y)i|² = Re(x+c + iy) -> x²+(4+y)² = x+c

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Zu diesem Schritt in c:

links: Der Betrag einer komplexen Zahl ist deren Abstand von 0 in der komplexen Zahlenebene. Nach Pythagoras kannst du aber auch den Realteil und den Imaginärteil quadrieren und daraus die Wurzel ziehen. Da der Betrag noch quadriert wird, ist die Wurzel weg.

rechts: Imaginären Anteil weglassen ergibt Realteil

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ah wunderbar vielen dank :)

 

jetzt fehlt mir nur noch eine schrittweise darstellung für a(ii) und b

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ist diese +1/4 auf beiden seiten willkürlich? also würde es jede andere zahl >0 auch tun?

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x²-x+1/4 + (4+y)² = c + 1/4

(x-1/2)² + (4+y)² = c+1/4

1/4 stammt aus der quadratischen Ergänzung. Die braucht's, um das Zentrum des Kreises ablesen zu können. vgl. auch andere Aufgabe zu C. Stichworte für die Suche ev. skizzieren oder zeichnerisch, falls nicht bei den ähnlichen Aufgaben.

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ahh verstehe ausschlaggebend für diesen wert ist also das -x

a²-2ab+b²  mhpf darauf hätt ich auch selbst kommen können ^^ brett vorm kopf und so :) danke für die erklärung

 

könnte ich jetzt bitte noch eine schrittweise darstellung für a(ii) und b haben?

danke abermals im Voraus

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genau genommen nur noch a(ii) in schrittweiser darstellung b hab ich mittlerweile eig verstanden denk ich^^

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ums mal noch etwas genauer zu definieren^^

 

Für den Winkel ψ der Wurzel gilt 2ψ = φ + 2πk mit k∈{0,1}

Es gibt also zwei Lösungen:

w₁ = √(α√(2)) e^-iπ/8

w₂ = √(α√(2)) e^-i9π/8

 

diesen part verstehe ich nicht

 

das √(α√(2)) ist √|z0| soweit klar

aber wie kommt e^-iπ/8  e^-i9π/8 zustande?

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das √(α√(2)) ist √|z0| soweit klar

aber wie kommt e^-iπ/8  e^-i9π/8 zustande?

Wenn du n-te Wurzeln ziehst, brauchst du die n-te Wurzel aus dem Betrag der Zahl, und du teilst den Richtungswinkel der Zahl durch n.

 

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äh bahnhof^^

 

kannst du diesen part ausführlich schrittweise darstellen?

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wenn ich die formel benutze die er oben schrieb : 2ψ = φ + 2πk mit k∈{0,1}

komme ich auf: e^-iπ/8  e^i7π/8

 er aber kommt auf: e^-iπ/8  e^-i9π/8

habe ich einen rechenfehler?

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Das sind dieselben Zahlen.

Denn e^-i9π/8 = e^{i(-9π/8 + 2π)} = e^i(16-9)π/8 = e^i7π/8

Weil der Winkel sich nach einem vollen Durchlauf von 2π wiederholt.