Verknüpfung einer abelsche Gruppe

Question

wir sitzen hier gerade als 3er Lerngruppe und verzweifeln an der unten genannten Aufgabe. Wir würden uns über eine Lösung oder einen Lösungsansatz sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen,

Lumama

Aufgabe:

Sei R = IR \ { −3 } die Menge der von −3 verschiedenen reellen Zahlen. Auf R sei eine Verknüpfung durch

x ∗ y = xy + 3x + 3y + 6, x, y ∈ R,  definiert.

Zeigen Sie, dass R mit dieser Verknüpfung eine abelsche Gruppe ist.

Answer 1

Welchen Teil bekommt ihr nicht gebacken:

- Assoziativgesetz,

- Kommutativgesetz,

- Existenz neutraler Elemente,

- Existenz inverser Elemente?

Vielleicht hilft euch diese Umformung:

x ∗ y =(x+3)(y+3) - 3.

Comments

Wir wissen nicht wie wir die Gesetze beweisen sollen.

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Assoziativgesetz (benutze meine Umformung):

Zu zeigen: (x*y)*z=x*(y*z)

Setze x*y=u und y*z=v. Berechne u und v in zwei Nebenrechnungen. Berechne dann u*z und x*v und setze u und v (aus den Nebenrechnungen) ein.

Dann erhältst du für (x*y)*z=x*(y*z)

(x+3)(y+3)(z+3)=(x+3)(y+3)(z+3).

Answer 2

Geht einfach alle Axiome durch und zeigt, dass sie erfüllt sind:

I. Die Abgeschlossenheit ist wohl am schwierigsten. X*Y muss wieder in IR \ { −3 } liegen,

dh. xy + 3x + 3y + 6=-3 darf nicht gehen für x,y ∈IR \ { −3 }.

Schauen wir mal: xy + 3x + 3y + 6=-3 ⇔ 3x+3y+xy+9=0 ⇔ (x+3)(y+3)=0 ⇔ x=-3,y=-3

Also ist die Verknüpfung abgeschlossen.

II. Ass: (x*y)*z = hinschreiben, dann vergleichen mit:

           x*(y*z) =   ...

III. Existenz des neutralen Elements

      k*y=y soll sein. Was ist k?

      k*y = y = ky+3k+3y+6

      ⇔ y(k+2) +3k+6=0 ⇔ k=-2 ist das neutr. Element

IV. Existenz des inversen Elements

   Sei x das inverse Element von y, also x*y=-2

  x*y = -2 = xy+3x+3y +6 ⇒ x= -\( \frac{3y+8}{y+3} \) ausrechnen!

  Dies ist das inverse Element. Es ist definiert, da der Nenner immer ≠0 ist.

V. Kommutativität: x*y = y*x sieht man wegen Komm.gesetze in ℝ.

Comments

Wie sieht das bei der Aufgabe denn für 2 bis 4 aus ?

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I. ok?

II. ok?

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Aufgabe 1 Ja Aufgabe 2 leider nicht.

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II.: Folgt mal der Gebrauchsanweisung:

      Ass: (x*y)*z = hinschreiben, dann vergleichen mit:

               x*(y*z) =  ...

III.: k*y=y soll sein. Was ist k?

      k*y = y = ky+3k+3y+6

       ⇔ y(k+2) +3k+6=0 ⇔ k=-2 ist das neutr. Element

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Rest jetzt oben!

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Hallo,

Wir haben doch nochmal eine frage und zwar hatten wir bevor wir das hier gepostet haben unsere Dozentin gefragt und heute erst die Antwort bekommen und das hat sie für das assoziativ gesetzt das hier:

(x*y)*z=( xy+3x+3y+6)*z=(xy+3x+3y+6)z+3(xy+3x+3y+6)+3z+6
= ... (ausmultiplizieren und zusammenfassen)
= xyz+9x+9y+9z+3xy+3xz+3yz+24

Stehen, bis zum zweiten gleich zeichen verstehen wir das jedoch fragen wir uns wo aufeinmal der teil: 3(xy+3x+3y+6)+3z+6 her kommt.

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x*y = xy+3x+3y+6

(xy+3x+3y+6)*z=((xy+3x+3y+6)z + 3(xy+3x+3y+6) + 3z +6

  ok?

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Ja perfekt, danke