Der Verlauf eines Stromkabel zwischen zwei Masten wird durch Graphen der Funktion ...

Question

Der Verlauf eines Stromkabel zwischen zwei Masten wird dirch Graphen der Funktion y=0.01x (in Quadrat., also hoch zwei) -0.5x+20 A) die Masten stehen bei 0m und bei 60m. Berechne die Höhe. B) bestimme die stelle an der das Stromkabel am tiefsten hängt. Gib die Höhe über dem Erdboden an

Answer 1

y = f ( x ) = 0,01 x ² - 0,5 x + 20

A)

Nun, wenn man davon ausgehen darf, dass die Kabel ganz oben an den Masten befestigt sind, dann entspricht die Höhe der Masten der Höhe des Kabels an den Stellen, an denen die Masten stehen, also an den Stellen x = 0 und x = 60. Diese Kabelhöhe aber wird durch die Funktion f ( x ) beschrieben. Also einfach einsetzen:

f ( 0 ) = 20

f ( 60 ) = 26

Also: Der Mast bei 0m ist 20 Meter hoch, der bei 60 Meter ist 26 Meter hoch.

B)

Hier ist ein Extremwert der Funktion f ( x ) zu bestimmen, also muss man die Ableitung von f ( x )  gleich Null setzen:

f ' ( x ) = 0,02 x - 0,5 = 0

<=> 0,02 x = 0,5

<=> x = 0,5 / 0,02 = 25

Also: Höchstens an der Stelle x = 25 kann ein Extremwert vorliegen.

Da die zweite Ableitung

f ' '  ( x ) = 0,02

an der Stelle x = 25 positiv ist (sie ist an jeder Stelle positiv) liegt hier tatsächlich ein Minimum vor.

Die Höhe des Kabels findet man wieder durch Einsetzen von x = 25 in f ( x ), also:

f ( 25 ) = 13,75

Also: An der Stelle x = 25 hängt das Kabel am tiefsten und zwar hängt es dort 13,75 Meter hoch.