Logarithmusbeweis - mit e und ln

Question

Aufgabe: Beweisen sie: 3^log_3(x) =e^ln(x)

Problem/Ansatz:

Ich habe das nun so versucht:

log_3(x)*log(3)=x         Mit dem Basiswechsel und der Definition von logarithmus, dass e^ln(x) = x ist

log(x)*log(3)/log(3)=x     kürzen

log(x)=x           Nur ab hier weiß ich nicht weiter, langt das schon so oder wie kann ich zeigen dass sie gleich sind?

Freundliche Grüße :)

Answer 1

Aloha :)

In langer Form:$$3^{\log_3(x)}=\left(e^{\ln(3)}\right)^{\log_3(x)}=e^{\ln(3)\cdot\log_3(x)}=e^{\ln(3)\cdot\frac{\ln(x)}{\ln(3)}}=e^{\ln(x)}$$In kurzer Form:$$3^{\log_3(x)}=x=e^{\ln(x)}$$

Answer 2

3^log_3(x) = e^{(log_3(x) * ln(3))} (Basiswechsel für 3^)

= e^{(ln(x)/ln(3) * ln(3))} (Basiswechsel für log_3(x))

= e^ln(x) (ln(3) kürzt sich zu 1)

Answer 3

und der Definition von logarithmus

Es wäre hilfreich, wenn du diese angeben würdest. Meine

Definition (Logarithmus). log_ab ist die Zahl z, für die a^z = b ist.

Damit ist

        x = 3^z ⇔ z = log₃ x ⇔ x = 3^log₃x

und

        x = e^z ⇔ z = ln x ⇔ x = e^{ln x}

Answer 4

Hallo

 wenn du das beweisen sollst ist es falsch-

sollst du x aus der Gleichung bestimmen oder ist die Behauptung dass die 2 Seiten gleich sind. ist log(3) der log₁₀(3) oder auch log₃(3)
im 2 ten Fall ist das ja einfach 1,
sonst hast du 3^log₃^(x)=x
also was genau ist die Frage.

Gruß lul

Comments

Ich soll das Beweisen. Also es steht nur in der Aufgabe - Beweisen sie: 3^log_3(x)= e^ln(x)

^{für x>0}

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Hallo eigentlich ist da nichts zu beweisen, denn das ist die Definition des log zur Basis 3 oder e

lul