Flächenkühlung eines Indoor-Skihangs (Flächeninhalt der Flächenkühlung berechnen)

Question

Aufgabe:

Das Längsschnittsprofil eines Indoor-Schihanges in Dubai soll wie unten abgebildet aussehen. An den Seitenflächen muss jeweils eine zusätzliche Flächenkühlung angebracht werden. Das Profil des Schihanges wird durch folgende Funktion beschrieben (Maße in m):

\(h(x)=4,8\cdot10^{-6}x^3-3,6\cdot 10^{-3}x^2+3\cdot 10^2\)

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Flächenkühlung

b) Erklären Sie die Bedeutung der folgenden Aussage: h''(250) = 0

Problem/Ansatz:

Bitte um hilfe

Comments

Integriere h(x) von 0 bis 500.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+4.8*10%5E-6x%5E3-3.6*10%5E-3x%5E2%2B300+from+0+to+500

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Vom Duplikat:

Titel: Bei meinem Integral bsp fehlen mir die Schritte zum richtigen Lösung

Stichworte: integralrechnung

In Aufgabe:

h(x)=4,8•10^-6•x^3-3,6•10^-3•x^2+3•10^2

Berechnen sie die Flächeninhalt der flächenkühlung …

Problem/Ansatz:

mein Problem sind die schritte egal was ich tue kommt nicht das erwünschte Ergebnis raus. Ich bin mir nicht sicher wie ich es zu integrieren hab. Als hochpunkt bekomme ich 500 und als Tiefpunkt -250. wobei ich glaube das -250 falsch ist

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Problem/Ansatz:

mein Problem sind die schritte egal was ich tue kommt nicht das erwünschte Ergebnis raus. Ich bin mir nicht sicher wie ich es zu integrieren hab. Als hochpunkt bekomme ich 500 und als Tiefpunkt -250. wobei ich glaube das -250 falsch ist

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Zur Berechnung des Integrals brauchst du die Nullstellen. 500 hast du richtig bestimmt, laut deiner Skizze  beginnt das Hang bei x = 0.

Jetzt bestimmst du die Stammfunktion H(x) (s. Antwort von Mathecoach), setzt für x 500 ein, dann 0. Beide Ergebnisse ziehst du voneinander ab: H(500) - H(0).

Da H(0) = 0 kannst du dir diesen Schritt  sparen.

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Verstehe und was hat es mit 3/625000•x^3-9/2500•x^2+300 auf sich die erhalte ich nicht wenn ich es im Tr. integriere stattdessen bekomme ich:

0,000001•x^4-0.0012•x^3-+300x

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was hat es mit 3/625000•x3-9/2500•x2+300

Das ist nur eine andere Schreibweise für die Funktion, die Zahlen vor den x wurden ausgerechnet:

\(4,8\cdot 10^{-6}= \frac{3}{625.000}\)

\(3,6\cdot 10^{-3}=\frac{9}{2500}\)

\(3\cdot 10^2=300\)

0,000001•x4-0.0012•x3-+300x

Das ist die Stammfunktion F(x), in die du die"500" einsetzt, um den Flächeninhalt zu berechnen.

Answer 1

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Flächenkühlung.

h(x) = 4.8·10^(-6)·x^3 - 3.6·10^(-3)·x^2 + 3·10^2 = 3/625000·x^3 - 9/2500·x^2 + 300
H(x) = 3/2500000·x^4 - 3/2500·x^3 + 300·x

∫ (0 bis 500) h(x) dx = H(500) - H(0) = H(500) = 75000 m²

b) Erklären Sie die Bedeutung der folgenden Aussage: h''(250) = 0

Die Krümmung an der Stelle 250 ist 0. Da eine Funktion 3. Grades punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist, erwartet man den Wendepunkt direkt in der Mitte der Strecke zwischen Hoch- und Tiefpunkt. Das ist bei (250 | 150) der Fall. Dort erwartet man dann auch als notwendige Bedingung für einen Wendepunkt eine Krümmung von 0.

Comments

Dankeschön vielen dank

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hi wieso kann man eig nicht mit f(x) also die normale Funktion, und den integral rechnen? muss man da die stammfunktion verwenden?

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Zur Berechnung des Integrals brauchst du ja die Stammfunktion. Es sei denn ihr sollte das nur in den Taschenrechner als Integral eintippen und ausrechnen lassen. Das kann ich mir aber nicht vorstellen.

∫ (0 bis 500) h(x) dx = H(500) - H(0)

Du siehst das ich auf der linken Seite des Gleichheitszeichens auch das Integral mit der normalen Funktion h(x) genommen habe. Rechts des Gleichheitszeichen steht wie man es ausrechnet.

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ok vielen Dank, also wenn es um flächeninhalt geht immer die stammfunktion

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Um ein bestimmtest Integral ohne Taschenrechner zu berechnen nutzt man den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung. Also die Berechnung über die Stammfunktion.

∫ (a bis b) f(x) dx = F(b) - F(a)

wobei hier F(x) eine Stammfunktion zu f(x) ist. Wenn die Integralfunktion des Taschenrechners benutzt werden darf, dann kann man auch auf die Stammfunktion verzichten.