Intervall aus Eigenwerten einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

1	1	0
1	1	1
k	0	0

Die gegebene Matrix hat drei verschiedene Eigenwerte, wenn für k gilt:

__<k<__

Bestimmen sie das maximale Intervall!

Problem/Ansatz:

Nach meinem Ansatz müsste doch jede ziffer für k möglich sein außer der 0 oder stehe ich gerade auf dem Schlauch?

Es handelt sich um eine vorleistung und ich wäre für jede hilfe dankbar

Answer 1

Hallo,

Die Matrix \(M\) ist $$M= \begin{pmatrix} 1& 1& 0 \\ 1& 1& 1 \\ k& 0& 0 \end{pmatrix} $$das charakteristische Polynom  \(c\) von \(M\) ist demnach$$c(\lambda) = -\lambda (1-\lambda)^2 + k + \lambda = -\lambda^3 + 2\lambda^2 + k $$Dieses Polynom hat genau dann drei relle Nullstellen, wenn \(-\frac{32}{27} \lt k \lt 0\) ist. Siehe dazu folgenden Plot

~plot~ -x^3+2x^2-32/27;-x^3+2x^2 ~plot~

Die Werte \(-\frac{32}{27}\) und  \(0\) bekommt man aus einer Kurvendiskussion von \(c(\lambda)\) ... es ist in diesem Fall schlicht der vertikale Abstand der beiden Extrema.

Comments

Ich danke dir!!

Perfekt

Answer 2

Das char. Polynom ist -x^3 +2x^2 +k.

Du musst schauen, wann das 3 Nullstellen hat.

Das ist der Fall, wenn der Hochpunkt oberhalb der x-Achse liegt und der

Tiefpunkt unterhalb.

Diese Punkte sind (0;k) und (4/3 ; k+32/27 )

also muss gelten k<0 und ; k+32/27>0 bzw

            k<0 und k>-32/27 also ist das gesuchte Intervall

-32/27 < k < 0 .