Wie lautet die Ableitung von f(x) := (3 + 8x^2) / (9x^3)?

Question

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{3+8 x^{2}}{9 x^{3}} . \) Wie lautet die erste Ableitung \( f^{\prime}(x) \) an der Stelle \( x=0.82 ? \)

Answer 1

Hallo,

die erste Ableitung kannst du mit Hilfe der Quotientenregel bilden:

\(f'(x)=\frac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}\)

Hier hätten wir dann:

$$u= 3+8x^2\\ u'=16x\\ v=9x^3\\v'=27x^2$$

Answer 2

\( y=\frac{3+8 x^2}{9 x^{3}}=\frac{3}{9 x^{3}}+\frac{8 x^{2}}{9 x^{3}}=\frac{3}{9 x^{3}}+\frac{8}{9 x} \\ y=\frac{1}{3} x^{-3}+\frac{8}{9} x^{-1} \\ y^{\prime}=\frac{1}{ \cancel{3} } \cancel{(-3)}^{1} x^{-4}+\frac{8}{9}(-1) x^{-2} \\ y^{\prime}=\frac{-1}{x^{4}}-\frac{8}{9 x^{2}} \\ y^{\prime}(0,82) \approx-3,533758  \)