Satz des Pythagoras (Längenberechnungen)

Question

Aufgabe: Berechne den Umfang U des Dreiecks ABC mit A(1|3); (4|1) und (7|5).

Comments

Hast du die Koordinaten richtig angegeben? Das Dreieck durch diese Punkte ist nicht rechtwinklig.

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Der Abstand zweier Punkte mit bekannten kartesischen Koordinaten lässt sich über den Satz des Pythagoras berechnen, der Umfang eines nicht notwendigerweise rechtwinkligen Dreiecks somit auch.

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Danke, wieder was dazu gelernt. Nun werde ich mir Tschakabumbas Antwort zu Gemüte führen und danach schlauer sein.

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Hallo Silvia. Ich habe dir eine Skizze gemacht, in der du schön die rechtwinkligen Dreiecke erkennen kannst.

Answer 1

Rechne die 3 Seitenlängen jeweils über die Koordinaten aus, z.B.

AB^2 = (1-4)^2 + (3-1)^2

AB^2 = 9 + 4

AB=√13

Answer 2

Aloha :)

Berechne die Seitenlängen mit Hilfe von Pythagoras einzeln.

\((1|3)\to(4|1)\)

Der x-Wert ändert sich um \(3\), der y-Wert ändert sich um \(-2\). Das sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist die Länge der Seite: \(\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\).

\((4|1)\to(7|5)\)

Der x-Wert ändert sich um \(3\), der y-Wert ändert sich um \(4\). Das sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist die Länge der Seite: \(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).

\((7|5)\to(1|3)\)

Der x-Wert ändert sich um \(-6\), der y-Wert ändert sich um \(-2\). Das sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist die Länge der Seite: \(\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}=\sqrt{40}\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt:$$U=\sqrt{13}+5+\sqrt{40}\approx14,93$$

Answer 3

|AB| = √((1 - 4)^2 + (3 - 1)^2) = √13
|AC| = √((1 - 7)^2 + (3 - 5)^2) = 2·√10
|BC| = √((4 - 7)^2 + (1 - 5)^2) = 5

U = √13 + 2·√10 + 5 = 14.93

Skizze

Comments

Die Skizze sagt natürlich alles. Mannomann, darüber habe ich nicht einmal ansatzweise nachgedacht. Vielen Dank, Coach!

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So kann man übrigens auch die Fläche recht einfach berechnen. Man nimmt einmal die Fläche des Rechtecks und zieht die Flächen der umliegenden rechtwinkligen Dreiecke ab.

A = 6·4 - 1/2·3·2 - 1/2·3·4 - 1/2·6·2 = 9