Aloha :)
Zu zeigen: $$A=PDP^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^n=PD^nP^{-1}$$Induktionsverankerung bei \(n=1\)$$A^n=A^1=A=PDP^{-1}=PD^1P^{-1}=PD^nP^{-1}\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\)$$A^{n+1}=A^n\cdot A=\overbrace{PD^nP^{-1}}^{I.V.}\cdot\overbrace{PDP^{-1}}^{A}=PD^n\overbrace{(P^{-1}P)}^{=1}DP^{-1}=P\overbrace{D^nD}^{=D^{n+1}}P^{-1}$$$$\phantom{A^{n+1}}=PD^{n+1}P^{-1}\quad\checkmark$$
