Bestimmen eines Maximums bei p(x) = a+k(1-e-cx)

Question

In einem ökonomischen Modell ist die Anzahl der Familien, deren Einkommen nicht grösser als x ist und die ienen Heimcomputer haben, gegeben durch p(x) = a+k(1-e^-cx)    ->(a, k und c sind positive Konstanten). Bestimmen Sie p'(x) und p''(x). Hat p(x) ein Maximum?

So lautet die Fragestellung. P'(x) und p''(x) konnte ich bestimmen doch bin ich mir unsicher beim Maximum. Ich bin zum Schluss gekommen, dass es kein Maxiumum hat (was auch richtig ist), doch ich bin mir nicht sicher ob mein Weg dabei richtig ist oder nur Zufall, dass es mit der Lösung übereinstimmt.

 

p'(x) = kce^-cx

p''(x)= -kc²e^-cx

Da beim Maximum p'(x)=0 gelten soll, logarithmiere ich:

-cx*lnk*lne=0

wenn ich nun -cx auf die andere Seite nehmen will, ergibt dies Null und somit ist kein x mehr in der Gleichung. Deshalb kein Maximum..

Answer 1

p(x) = a + k·(1 - e^{- c·x})

p'(x) = c·k·e^{- c·x}

p''(x) = - c^2·k·e^{- c·x}

Extremstelle p'(x) = 0

c·k·e^{- c·x} = 0

Ein Produkt wird Null wenn einer der Faktoren null wird. Hier kann kein Faktor Null werden, also gibt es keine Extremstelle.

Die Funktion ist aber weil p'(x) > 0 ist monoton steigend. Eventuell hat sie aber einen Grenzwert.

lim x→∞ a + k·(1 - e^{- c·x}) = a + k

Die Funktion nähert sich also dem Wert a + k von unten an.

Comments

 :)

Noch eine kleine Frage: wieso setzt man nur  ∞ bei p(x) ein um den Grenzwert zu berechnen und nicht -∞?

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Das x ist eine Grenze für das Einkommen. Kann das x dann negativ sein? Gibt es negative Einkommen ?

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ah ja, stimmt ;)