Als degenerierte Ecke bezeichnet man eine Ecke auf der der Simplex—Algorithmus hängen bleibt.
Eine sehr anschauliche Darstellung finde ich bei Peter Buchholz:
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Extrempunkte können u.U. auch durch weniger als \( \mathrm{m}(=\text { Anzahl Zeilen von A und } \operatorname{rang}(\mathrm{A})) \) positive Elemente charakterisiert sein
$$ \left(\begin{array}{lllll} 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \\ 7 \end{array}\right) $$
mit der Lösung \( (1,1,0,0,0)^{\mathrm{T}} \)
Man spricht dann von einer degenerierten Ecke
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Anschaulich wird im Fall n=2 eine Ecke durch den Schnittpunkt 2er NB-Geraden bestimmt. In dem Fall oben (degenerierte Ecke) sind 3 Schlupfvariablen=0, d.h. dort schneiden sich 3 NB-Geraden.
Rechnung
m=Rang(A)=4
A (x1,x2,x3,s1,s2,s3,s4)^T = b
\(\small \left(\begin{array}{rrrrrrr}1&1&2&1&0&0&0\\0&1&6&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0&0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}2\\6\\0\\0\\6\\2\\0\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}8\\12\\4\\6\\\end{array}\right) \)
===> nicht degeneriert: Lösung hat 4 Komponenten=m. Ecke wird beschrieben durch s1=s4=x3=0 (Schnittpunkt 3 Ebenen)
\(\small \left(\begin{array}{rrrrrrr}1&1&2&1&0&0&0\\0&1&6&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0&0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}4\\0\\2\\0\\0\\0\\6\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}8\\12\\4\\6\\\end{array}\right) \)
===> degeneriert: Lösung hat 3 Komponenten<m. Ecke wird beschrieben durch s1=s2=s3=0 Schnitpunkt 3er NB-Ebenen und x2=0 (Schnittpunkt 4 Ebenen)
