Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute... optimale Faktorkombination und minimale Kosten

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute

(1,2)=141^2+6912+202^2
Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 95 und 71, wenn ein Produktionsniveau von 7347 erzielt werden soll.

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich wie folgt vorgehen muss  
Lagrange-Gleichung aufstellen ==> diese ableiten nach der ersten und der zweiten Variablen sowie nach lambda ==> die drei Ableitungen jeweils gleich Null setzen ==> dieses Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen

Meine Lagrange Funktion lautet:

L= 95*x1 + 71*x2 - lambda * (141^2 + 6912 + 202^2 - 7347)

Meine Ableitungen lauten:

L'1= 95 - 28*lambda*x1 - 69*lambda*x2 = 0

L'2= 71 - 40*lambda*x2 - 69*lambda*x1 = 0

L'3= 141^2 + 6912 + 202^2 - 7347 = 0

Kann mir jemand beim Lösen des Gleichungssystems helfen und beim weiteren Vorgehen (optimale Faktorkombination und Kosten minimum)

Answer 1

Zunächst nur eine Kontroll-Lösung

min{95 x + 71 y|14 x^2 + 69 x y + 20 y^2 = 7347}≈1315.28 at (x, y)≈(3.3721, 14.0131)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+95x%2B71y+with+14x%5E2%2B69xy%2B20y%5E2%3D7347

- 28·k·x - 69·k·y + 95 = 0 --> k = 95/(28·x + 69·y)
- 69·k·x - 40·k·y + 71 = 0 --> k = 71/(69·x + 40·y)
14·x^2 + 69·x·y + 20·y^2 = 7347

I und II gleichsetzen

95/(28·x + 69·y) = 71/(69·x + 40·y) --> y = 4567/1099·x

in III einsetzen

14·x^2 + 69·x·(4567/1099·x) + 20·(4567/1099·x)^2 = 7347 --> x = 3.372095594

y = 4567/1099·3.372095594 = 14.01306694

95*3.372095594 + 71*14.01306694 = 1315.276834

Comments

Vielen Dank, aber wie komme ich mit diesen Werten auf die minimalen Kosten in diesem Fall? Oder sind die minimalen Kosten 1315,28?

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Oder sind die minimalen Kosten 1315,28?

Das sind die minimalen Kosten. Was ist denn die Bedeutung des Terms

95*x1 + 71*x2 bzw. bei mir 95*x + 71*y ?

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Der term ist die Kostenfunktion

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Genau. Der Term gibt also beim Einsetzen der Faktormengen die Kosten an.

Und wenn du die günstigste Faktorkombination einsetzt dann bekommst du die minimalen Kosten heraus.