Funktion 3. Grades berechnen mit Hoch- und Tiefpunkt

Question

Aufgabe:

Funktion vom Grad 3

Der Graph einer ganzrationalen FUnktion mit Tiefpunkt(0|0) und Hochpunkt (4|4)

Problem/Ansatz:

Wie geht das? Bzw. wie lautet die fertige Funktion?

Answer 1

Funktion vom Grad 3

f(x)=ax^3 +bx^2 + cx +d 

Der Graph einer ganzrationalen FUnktion mit Tiefpunkt(0|0)

f(0)=0 und f ' (0) = 0

d=0      und     c=0

 und Hochpunkt (4|4)

f(4)=4  und f ' (4) = 0

64a + 16b = 4    und  48a + 8b = 0

                                     ==>  b = -6a

64a - 96a = 4

    -32a = 4

             a = -1/8   ==>   b = 3/4

f(x) = -1/8 x^3 + 3/4 x^2

sieht so aus

~plot~  -1/8 x^3 + 3/4 x^2 ; [[-4|6|-2|6]] ~plot~

Comments

Danke, habs auch bemerkt.

Answer 2

Funktion vom Grad 3

        f(x) = ax³ + bx² + cx + d

mit Tiefpunkt(0|0)

Die Funktion verläuft durch den Punkt (0|0), also ist f(0) = 0 und somit

(1)        a·0³ + b·0² + c·0 + d = 0.

Außerdem hat sie dort einen Tiefpunkt, also f'(0) = 0. Die Ableitung ist

        f'(x) = 3ax² + 2bx + c

also

(2)        3a·0² + 2b·0 + c = 0.

und Hochpunkt (4|4)

Analog zum Tiefpunkt ist hier

(3)         f(4) = 4

und

(4)        f'(4) = 0.

Löse das Gleichungssystem aus diesen vier Gleichungen.

Answer 3

Ansatz: $$g(x)=ax^3+cx \\ g'(x)=3ax^2+c$$ Übergang zu \(f(x):=g(x-2)+2\): $$f(x)=a\left(x-2\right)^3+c\left(x-2\right)+2 \\ f'(x)=3a\left(x-2\right)^2+c$$ Verwenden von \(f(4)=4\) und \(f'(4)=0\): $$4=8a+2c+2 \\ 0=12a+c$$ $$\Leftrightarrow \\ a=-\dfrac 18 \\ c=\dfrac 32$$ Ergebnis: $$f(x)=-\dfrac 18 \cdot \left(x-2\right)^3+\dfrac 32 \cdot \left(x-2\right)+2$$

~plot~ -1/8*(x-2)^3+3/2*(x-2)+2; [[ -2 | 8 | -1 | 5 ]] ~plot~