Laplace Transformation DGL 2. Ordnung lösen y''+y=5 ; y(0)=0 ; y'(0)=4

Question

Aufgabe:

,

ich möchte folgende DGL mittels Laplace Transformation lösen:

y''+y=5 ; y(0)=0 ; y'(0)=4

aber leider mache ich etwas falsch bei der Bildfunktion. Denn in der Laplace Tabelle finde keinen ansatz für die (s²+1). ich möchte gerne wissen was ich falsch mache für eine richtige rücktransformation.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

$y^{\prime \prime}+y=5 \quad y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=4$
$\left[s^{2} \cdot Y(s)-s \cdot y(0)-y^{\prime}(0)+Y(s)=F(s)\right.$
$s^{2}+Y(s)-s \cdot 0-4+1 Y(s)=5$
$s^{2} \cdot y(s)-4+1 y(s) \quad=\frac{5}{s}$
$Y(s)\left(s^{2}+1\right)-4=\frac{5}{s} \quad 1+4$
$Y(s) \quad=\frac{\frac{5}{3}+4}{s^{2}+1}$
$Y(s)=\frac{5+4}{5\left(s^{2}+1\right)}$
$\Rightarrow P B^{2}$
$\frac{5+4}{5 e s^{2}+1}=\frac{4}{5}+\frac{8}{5^{2}+1}$
$5+4=A\left(s^{2}+1\right)+B \cdot s$
$=3\left(s^{2}+1\right)+2 s$

Comments

Hallo,

zunächst hast Du Dich verrechnet: Bei der Umformung von y hast Du mit s erweitert, es müsste dann 4s heißen und nicht 4.

Der Ansatz bei der Partialbruchzerlegung für einen Faktor $s^2+1$ (allgemein quadratischer Term ohne reelle Nullstelle) ist

$$\frac{as+b}{s^2+1}$$

Deine angegebene Zerlegung ist doch offensichtlich falsch.

Gruß

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Hallo Peter,

vielen Dank für deine Hilfe.

Aber eigentlich heisst doch die formel für y''=> [s²*Y(s) - s*y(0) -y'(0)] und das y'(0)=4 wird ja in diesem falle nicht mir s multipliziert oder. Denn y(0)=0 wird mit s multipliziert laut meiner Formelsammlung. Kann du mir vielleicht kurz die die Aufgabe vollständig lösen damit ich einen überblick bekomme?

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Hallo,

mein Hinweis bezieht sich auf die Umformung vor PBZ, also  es ist

$$y(s)=\frac{5+4s}{s(s^2+1)}$$

Gruß

Answer 1

Wie schon oben gesagt ist die Laplacetransformierte $$Y(s) = \frac{ 4s+5 } { s(s^2+1) } = \frac{5}{s} - \frac{5s}{s^2+1 } + \frac{4}{s^2+1}$$ Dir invers Transformierte ergibt $$y(t) = 5 - 5\cos(t) +4 \sin(t)$$ für $t \ge 0$

Comments

Hallo Ullim, vielen dank für deine Hilfe, ich verstehe aber immernoch nicht wie ihr auf 4s kommt :)

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$$\frac{ \frac{5}{s} + 4 }{s^2+1} = \frac{\frac{5}{s}+\frac{4s}{s}}{s^2+1} = \frac{5+4s}{s(s^2+1) }$$

Answer 2

Wieso machst Du Dir den Aufwand mit der Laplace-Transformation? Die Dgl. ist doch so primitiv, die kann man fast im Kopf ausrechnen.