Begründung.........mathematishc

Question

Begründe mithilfe der Abbildung, dass es eine reelle Zahl z mit 4 < z < 5 gibt, für die $$ \int\limits_{z}^{z+1} k(x) \text{ d}x = 0 $$ gilt. Die Abbildung zeigt $$ k(x) = \dfrac {1}{40}\cdot \left(x^3-30x^2+288x-815\right) $$

~plot~ 1/40*(x^3-30*x^2+288*x-815); [[ -5 | 10 | -3 | 3 ]] ~plot~

_{PS: Frage sprachlich und formelsatztechnisch überarbeitet und eine mir sinnvoll erscheinende Abbildung ergänzt. Gast az0815}

Comments

Aus welcher Sammlung stammt diese Aufgabe?

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Es stammt aus dem Mathe Abitur 2019 Hamburg

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Hättest du doch statt  "mathematishc"  lieber  "anshcaulich"  geschrieben.

Jetzt musst du die Stetigkeit der Funktion  g  mit  g(z) = _z∫^z+1 k(x) dx  nachweisen.

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Es stammt aus dem Mathe Abitur 2019 Hamburg

Dann gib doch bitte jedesmal(!) die Quelle einschließlich der genauen Aufgabennummer an.

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woher weiß ich das es sich um stetigkeit handelt?

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Wie kann ich die Stteigkeit nachweisen`? ????

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\( \int \limits_{x}^{x+1} \dfrac{1}{40}\left(t^{3}-30 t^{2}+288 t-815\right) d t=0 \)

 \( \dfrac{x^{3}}{40}-\dfrac{57 x^{2}}{80}+\dfrac{259 x}{40}-\dfrac{2723}{160}=0 \)

\( x\approx4.51985622476237 \)

Answer 1

Vermutlich soll man nur sagen:

zwischen 4und 5 ist eine Nullstelle.

Anschaulich scheint das Integral von 4 bis 5 negativ

zu sein, etwas mehr unter als über der x-Achse.

Und von 4,3 bis 5,3 ist es sicherlich positiv also

wird es bei einem Startpunkt zwischen 4 und 4,3

wohl einmal 0 werden.

Comments

Anschaulich scheint das Integral von 4 bis 5 negativ
zu sein, etwas mehr unter als über der x-Achse.
Und von 4,3 bis 5,3 ist es sicherlich positiv also
wird es bei einem Startpunkt zwischen 4 und 4,3
wohl einmal 0 werden.

Ich präzisiere das mal zu
"Das Integral von 4 bis 5 (also g(4)) ist sicher nagativ, da der Graph von k dort komplett unterhalb der x-Achse verläuft. Von 5 bis 6 (also g(5)) ist es sicher positiv, da der Graph von k dort komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
Also gibt es eine Stelle z zwischen 4 und 5, bei der g(z) = 0 ist."

Dieses "also" ist der sog. Zwischenwertsatz, der allerdings nur für stetige Funktionen g gilt. Da g ein Polynom dritten Grades ist, kann diese Stetigkeit als trivialerweise vorliegend angesehen werden.

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Da geht es doch wohl eher um die Stetigkeit der Integralfunktion

und nicht die der Funktion selbst. Das scheint mir allerdings

für ne Abi-Frage etwas zu heftig.

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Stetigkeit der Integralfunktion
und nicht die der Funktion selbst.

Lies meinen Text aufmerksamer, dann siehst du, dass ich immer von der Stetigkeit der Funktion  g aber nie von der der Funktion k gesprochen habe.

Answer 2

Begründe mithilfe der Abbildung

Hier soll nicht gerechnet werden!

Die Fläche, die der Graph von k mit der x-Achse für  z ≤ x ≤ 5 begrenzt, liegt unterhalb der x-Achse. Der zugehörige Integralwert ist daher negativ. Die Fläche, die der Graph von k hingegen im Bereich 5 ≤ x ≤ z + 1 mit der x-Achse begrenzt, liegt oberhalb der x-Achse, wodurch der zugehörige Integralwert positiv ist. z kann so gewählt werden, dass die Flächeninhalte dieser beiden Flächen gleich sind und sich so bei der Berechnung des Integrals aufheben.