Lineare Algebra, Nachweis, dass sich Gerade g und h für kein a schneiden

Question

Hallo, ich habe folgende Frage:

Gegeben sind die Gerade h durch die Punkte A(2/1/0), B(4/-1/-2) sowie die Geradenschar ga durch die Punkte C(6/-2/-2) und D(a/2/2)

Die Gleichung für h lautet dann dementsprechend h:x =(2,1,0) +r×(2,-2,-2)

Und die für g:x=(6,-2,-2)+s×(a-6,4,4)

1) Zeigen Sie, dass sich die Geraden h und ga für kein a scheiden.

2) Stelkeb Sie die durch die Geraden h und g2 aufgespannte Ebene E durch eine Gleichukh dar.

Hier ist eine Kontrollebene angegeben auf die ich aber nicht komme. Ich habe nachgewiesen, dass die Ebene kollinear sind, auf die Ebene

E:x= (2,1,0)+r×(2,-1,0)+s×(0,1,2) komme ich aber einfach nicht.

Kann mir da jemand helfen?

Dankeschön

Answer 1

Da eine Ebene unendlich viele Punkte enthält, gibt es für ein und die selbe Ebene unendlich viele Möglichkeiten, einen dieser Punkte für den Stützvektor auszuwählen. Ebenso gibt es unendlich viele Möglichkeiten, zwei weitere Punkte auszuwählen, zu denen dann die Spannvektoren der Ebene führen.

Es wäre also ein riesengroßer Zufall, wenn DEINE Darstellung der Ebene mit der in der Musterlösung gewählten Darstellung übereinstimmt.

Wie lautet dein Ergebnis?

Nachtrag: Die Ebene enthält die Punkte A(2/1/0), B(4/-1/-2)  C(6/-2/-2) und (wenn a=2 gilt)  D(2/2/2).

Das sind schon mal 4 Möglichkeiten, einen Stützvektor zu wählen, und die Spannvektoren führen dann zu zwei der drei restlichen Punkte.

Comments

Ah super danke, das hat mir echt geholfen.

Wie löse ich auch noch die andere Aufgabe Nr.1 ?

Dafür muss ich doch beide gleichsetzten und dann nach a auflösen aber bei meinen Gleichungssystemen, die ich aufstelle kann man nicht auflösen, weil Widersprüche entstehen.

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Dafür muss ich doch beide gleichsetzten und dann nach a auflösen aber bei meinen Gleichungssystemen, die ich aufstelle kann man nicht auflösen, weil Widersprüche entstehen.

Das ist ja nun mal logisch. Wenn es eine Lösung geben würde hättest du ja ein a gefunden, mit dem die Geraden sich schneiden würden.

Wenn es kein solches a gibt, dann schneiden sie sich nicht.

(Und die Aufgabe sagt ja bereits, dass sie sich nicht schneiden.

Answer 2

Hallo,

E:x= (2,1,0)+r×(2,-1,0)+s×(0,1,2) komme ich aber einfach nicht

$$\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}=\text{Stützvektor  }\vec{OA}\\ \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix}=\vec{BC}\\ \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}=\vec{AD}\text{ ,wenn a = 2 und die Geraden somit parallel }$$

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Damit erklärst du zwar die Musterlösung, aber nicht, ob eine davon abweichende Darstellung auch richtig sein könnte.

Answer 3

Dreipunktgleichung der Ebene

E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

1) 2 Punkte auf der Geraden h. nehmen A(ax/ay/az) → a(2/1/0)  und einen weiteren Punkt mit r=1 errechnen

B(bx/by/bz) → b(bx/by/bz)

als C(6/-2/-2) → c(6/-2/-2) nehmen wir den Stützpunkt von der Geraden ga:

Genau so,machen wir das dann mit 2 Punkten auf der Geraden ga: und als Punkt C(2/1/0)  wenn dann die Ebenen  parallel oder identisch sind,dann schneiden sie sich nicht.

parallel Ebenen: Beide Normalenvektoren liegen parallel n1*r=n2

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Danke für die Lösung, so hab ich es mir jetzt aufgeschrieben.

Wie löse ich die andere Aufgabe?

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Die anderen Aufgaben kannst du hier reinstellen und werden dann von den anderen Leuten gelöst.

Ich selber gebe privat Nachhilfe und bekomme dafür Geld.

Ich habe keine Lust stundenlang umsonst zu rechnen.

Ich mache das hier nur als Hobby und weil mir die Schüler leid tun.